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数学归纳法的发展及其在数学中的应用 摘 要：在数学论证中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某些结论是自然数的函数命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明。本文叙述了数学归纳法名称的发展，数学归纳法内容的发展，并分别从良序原理、数学归纳法、第二数学归纳法、数学归纳法的有效性这四个方面对数学归纳法的原理做了介绍，都有相关的例子，能帮助读者深入的理解数学归纳法的原理。本文也列举了几种常见的数学归纳法的形式，如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推归纳法、螺旋式归纳法。在了解数学归纳在数学中的应用后，本文重点叙述了数学归纳法在证明恒等式、证明不等式、证明整除问题、证明几何问题、探索与正整数有关的问题 “数学归纳法”名称是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用推广。 在名称上迈出重要一步的是英国学家德摩根1838年在伦敦出版的小百科全书》中摩根在他的条目“归纳法里建议使用“逐收归纳法但在该条目的最后他偶然地使用了术语学归纳法 ，这是我们所能看到这一术语的最早使用无论是毛罗利科还是帕斯卡也无论是伯努利还是其后的学家们，虽然都在不断地使用学归纳法但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何称只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作才引进了归纳法这一名称并在两种截然不同的意义上应用于学：(1)以特获得一般结论的沃利斯方式 (2)指定论证并且影响了其后的学家们使这种混用状态大约持续了140年l9世纪上半叶，英国的学家皮科克在他的《代学的排列与组合部分谈到梅成的规律用归纳法延伸到任意是从预攫f 意义上以沃利斯方式使用归纳法的后来，他又将从“到R+1的论证称之为证明归纳V?J?Katz在《数学史通论》中表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师莱维?本?热尔森（Levi ben Gerson，1288~1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法的归纳推理。 2.莫洛里科斯解开数学归纳法之谜 但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494- 1575），但他也未对数学归纳法证明中的奠基和归纳推理这两个步骤进行明确的描述。他只是利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。 递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：第一块骨牌倒下任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下 ( B.Pascal, 1623 ~1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。 4.数学归纳法的建立 然而严格意义上的数学归纳法的建立，是在数的理论充分发展及对无穷概念有较深刻的认识后才得以完成的。十七世纪后，在数学归纳法有了明晰的框架后，发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、反向归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、双重甚至多重归纳法等各种形式的数学归纳法。至1889年意大利数学家C?皮亚诺( C. Peano , 1858~ 1932 )发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础。 数学归纳法的原理 （一） 良序原理 所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数（或计算值）：1，2，3，4，5……一一对应的过程，我们用N表示自然数这个无限集合，这里值得注意的是关于N的定义并未达成共识，有些数学家把0也归入N。但这两种不同定义并不会引起太大的冲突，哪一种使用方便即可选择哪一种。 自然数N的一个基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N的公理.对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题.为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设.尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”。 良序原理：自然数集N的每个非空子集都有一个最小元素。