数学模型课设计人行走做功最小模型.docVIP

人行走做功最小模型 【摘要】本模型主要研究在做功最小的情况下人的行走问题。因为人在行走时做的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。而人在行走时重心升高时一个定值，所以我们可以通过调节步速来控制两腿运动所需动能。在我们日常生活中，人行走是少不了的。建立这个模型的目的就是要解决人要以怎样的步速才能使人在单位时间内做功最少。必须先分析重心的升高量和人在单位时间内做的功。再以物理和数学知识求解。本文建立了人在匀速行走时每秒走几步最省力的模型。通过两种不同的假设，给出了每秒所走步数的两个公式。 【关键词】转动惯量 重力势能 动能 功能转换 最优解 一．问题的重述 人在行走时做的功是抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。求解在做功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。 需要研究的主要内容有： （1）设腿长，步长，证明人体重心在行走时升高。 （2）将腿看做均匀直杆，行走看做腿绕腰部的转动，设腿的质量行走速度 证明单位时间所需动能为 。 （3）如果设人的质量证明在速度一定时每秒行走步做功最小，实际上，，，并分析这个结果的合理性？ （4）如果将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看做脚的直线运动，证明结果应为步并分析这个结果是否合理？ 同时，以做本题及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二．问题的分析 因为人在静止不动时，也会由于生命活动消耗一部分能量，而在非静止状态消耗的能量就会更大。因此，人在步行时消耗的能量就分为生理的和物理的两部分。下面就简单分析一下在不考虑在不考虑生理耗能的情况下，人应该以怎样的步频才能在单位时间内消耗的能量最少。 三．模型假设与符号说明 1.模型假设 假设一 假设人体的重心在人体的位置保持不变，并且人在步行时是做匀速运 动的。 假设二 假设在步行过程中保持步长是一定的，而且在步行过程中路面是相对 平坦的。 2.符号说明 : 腿长 S: 步长 人体重心升高 行走速度（行速） 腿的质量 人体质量 重力加速度 人在行走时做的功 ：抬高人体重心所需势能 ：两腿运动所需动能 单位时间内行走的步数 转动惯量 角速度 四．模型的建立与求解 （1）求人体重心在行走时升高δ 由图知： = ……① ……② 由方程①②得 （当s /较小时） （2）模型一： 若将腿看做均匀直杆，腿部的运动可看作绕腰部转动。则： 腿的转动惯量 j= ……③ 角速度：= …… ④ 单位时间内的步数：n= ……⑤ 单位时间内两腿运动所需动能为： = ……⑥ 将③④⑤代入⑥得 = （3）单位时间抬高人体重心所需势能为： =Mg*δ*n=Mg*()*() = 单位时间行走所需总功: W=+ = =（） =() 要求在速度v一定时工作最小，则对上式关于n求微分得： W=-=0 将代入上式得： n 结果分析：人在1秒内走5-6步，显然不合理。 （4）模型二： 假设腿的质量主要集中在脚部，行走看作是脚的直线运动，则 单位时间内两腿运动所需动能为： =mv*n = =W+ =v() 类似上面求最小值的方法求得： n= 结果分析：人在1秒内走3步，这种结果显然比较合理。 五．模型的评价与讨论 本文所建立的模型，思路简单易懂，但也有不足之处，模型过于理想化，这个模型建立在一些不太标准的假设的基础上，因此，也具有相当大的局限性。与实际情况有一定的偏差，如模型一虽接近于实际，但结果与实际不符，模型二解出的结果虽合理，但模型假设与实际偏差程度较大。又比如，人的穿着负重在一定程度上也可影响人的做功。因此这两个模型都不能较好的解决实际问题，但它们作为一篇基于实际的报告，也有一定得参考价值。 利用上面的模型解出的行走频率可以帮助我们了解人行走时影响做功大小的几个因素。从公式可看出行走频率与人体质量、腿的质量以及腿长有关，而与步长无关。如果一个人质量较大而腿的质量相对较小，则他应该走快些；如果一个人质量较小而腿的质量相对较大，则他应该走慢些；如果一个人腿较长，则他应走慢些。