2013高中数学技能特训7-8用向量方法求角和距离 含解析.docVIP

7-8用向量方法求角与距离(理) 基础巩固强化1.在空间直角坐标O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 [答案]　B [解析]　由条件知，O在平面OAB内， ＝(－1,3,2)， 点P到平面OAB的距离 d＝＝＝2. 2．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C. D. [答案]　D [解析]　设正方形的边长为1，AC与BD交于点O，当折成120°的二面角时， AC＝2＋2－2···cos120°＝. 又＝＋＋， ||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋2＋1＋2×1×cos135°＋2××1×cos135°＋2·＝2· ＝2||·||cos〈，〉＝2cos〈，〉． cos〈，〉＝. 3．(2013·江西吉安一中上学期期中考试)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　设A1B1＝a，B1C1＝b，C1C＝c， 由条件知CB1C1＝60°，DC1D1＝45°， ＝，＝1，c＝a＝b， 设b＝，则a＝c＝3， A1D2＝12，A1C＝12，C1D2＝18， B1C1∥A1D， A1DC1为异面直线B1C与C1D所成的角， cosA1DC1＝＝＝，故选D. 4. 如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　如图，以A为原点建立空间直角坐标系如图． 则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a,0)，＝(0,0,2a)， 设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)， 则 ∴∴n1＝(1，－1,1)． sinθ＝＝＝. 5．(2011·广东省江门模拟)如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF.当A1、E、F、C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)，同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为＝. 6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　解法一：取BC的中点D，在正三角形ABC中，ADBC，在正三棱柱中，CC1平面ABC，AD平面ABC， CC1⊥AD，AD⊥平面BCC1B1，AC1D为AC1与平面BB1C1C所成的角，设AB＝AA1＝1，则AD＝，AC1＝，sin∠AC1D＝＝，故选C. 解法二：以线段BC的中点D为原点，直线BC、AD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图． 设AB＝1，则A(0，，0)，C1(，0,1)， 设AC1与平面BB1C1C所成角为θ，易知平面BB1C1C的一个法向量为＝(0，，0)， 又＝(，－，1)， sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，故选C. 7．(2011·浙江丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________． [答案]　(1,1,1) [解析]　设PD＝a，则由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)， ＝(0,0，a)，＝(－1,1，)， cos〈，〉＝， ＝，a＝2， 点E的坐标为(1,1,1)． 8．(2011·咸阳模拟)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小为________． [答案]　30° [解析]　由条件知ACBD，AC与BD交点为O，以O为原点，射线OC、射