坐标系和参数方程联系题(真题)(含答案).docVIP

1、在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l： ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0， 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0. (2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程， 将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 将(0,1)转化为极坐标为即为所求． 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4， 所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4. 因为ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. 3、(2017·全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； (2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值． 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)， 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sinAOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 当α＝－时，S取得最大值2＋. 所以OAB面积的最大值为2＋. (2015·全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρR)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积． 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半径为1， 所以C2MN的面积为. ．(2016·全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆． 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1. ．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C的极坐标方程； (2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射 线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4， 得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)设P(ρ1，θ1)，则由 解得ρ1＝2，θ1＝. 设Q(ρ2，θ2)，则由 解得ρ2＝5，θ2＝. 所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3. ．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线