初中高数9- 等差数列及其前n项与I.pptVIP

题型七 等差、等比数列的综合应用 【例4】 （12分）已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项. （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2 010. （1）可用基本量法求解；（2）作差an+1-an= 思维启迪 解 （1）由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∴（1+4d）2=(1+d)(1+13d). 解得d=2(∵d＞0). 2分 ∴an=1+(n-1)·2=2n-1. 3分 又b2=a2=3,b3=a5=9, ∴数列{bn}的公比为3, ∴bn=3·3n-2=3n-1. 5分 （2）由 得 当n≥2时, 两式相减得:n≥2时, =an+1-an=2. 8分 ∴cn=2bn=2·3n-1 (n≥2). 又当n=1时， =a2,∴c1=3. 3 (n=1) 2·3n-1 (n≥2). 10分 ∴c1+c2+c3+…+c2 010 =3+ =3+(-3+32 010)=32 010. 12分 在解决等差、等比数列的综合题时，重 点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、 通项公式及前n项和公式.本题第（1）问就是用基本量 公差、公比求解；第（2）问在作差an+1-an时要注意 n≥2. 探究提高 ∴cn= 知能迁移4 已知数列{an}中，a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an-qan-1 (n≥2,q≠0). （1）设bn=an+1-an (n∈N*),证明：{bn}是等比数 列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明： 对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项. （1）证明 由题设an+1=（1+q）an-qan-1 （n≥2）， 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2. 由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1，公比为q 的等比数列. （2）解 由（1）， a2-a1=1,a3-a2=q,… an-an-1=qn-2 (n≥2). 将以上各式相加，得an-a1=1+q+…+qn-2 (n≥2)， 即an=a1+1+q+…+qn-2 (n≥2). 所以当n≥2时， （3）解 由（2），当q=1时，显然a3不是a6与a9的 等差中项，故q≠1. 由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得 q3-1=1-q6, 上式对n=1显然成立. ① 1.等差数列的判定 2.等差数列的基本运算 3.等差数列的性质及综合应用 4.等比数列的基本运算 题型分类 深度剖析 5.等比数列的判定与证明 6.等比数列的性质及应用 7.等差、等比数列的综合应用 题型一 等差数列的判定 【例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn (p、q∈R，且p、q为常数). （1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； （2）求证：对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数 列. (1)由定义知,{an}为等差数列,an+1-an 必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数. 思维启迪 题型分类 深度剖析 (1)解 an+1-an=［p(n+1)2+q(n+1)］-(pn2+qn) =2pn+p+q, 要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的 常数,所以只有2p=0,即p=0, . 故当p=0 , 时，数列{an}是等差数列. (2)证明 ∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, ∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. ∴{an+1-an}是等差数列. 探究提高 证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:(1)定义法:an+1-an=d;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)问中,需证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证an+1-an为常数. 知能迁移1 设两个数列{an},{bn}满足bn=