齐线性方程组有非零解的充要条件在初等数学中的应用.docVIP

齐线性方程组有非零解的充要条件在初等数学中的应用 第18卷第3期 2002年6月 忻州师范学院 JOURNALOFXINZHOUTEACHERSUNIVERs1TY Vo1.18No.3 Jun.20o2 齐线性方程组有非零解的充要条件在初等数学中的应用 曹春娟 f忻州师范学院,山西忻州O34O00)? 【摘要】用齐线性方程组有非零解的充要条件定理解决初等数学中的某些问题. 【关键词】齐次线性方程组;系数行列式;非零解 【中图分类号】O174.51【文献标识码】A【文章编号】1671-1491(2002)03-54-02 AnAppficafionoftheNecessaryandSufficientCon~fionoftheSystemofHomogeneousLinearEquationswith UntrivialSolutioninElementaryMathematics CAOCun-juan (XinzhouTeachersUniversity.Xinzhou034000,China) Abstract:Theprincipleofthenecessaryandsufficientconditionapphedofthesystemofhomogeneouslinearequations is叩phedinthispaperforthesolutionofsomeproblemsinelementarymathematics. Keywords:systemofhomogeneouslinearequations;coefficientdeterminent;untrivialsolution 【定理】n元n个方程的齐次线性方程组有非零解的二,与比例有关的问题 充要条件是齐次线性方程组的系数行列式为零. 本文将介绍该定理在代数,三角中的具体应用. 一 ,证明等式 例1:已知log~7----8.,log:15=b,loga53=c 求证:ab+bc+ca+2abe=l falg3+alg5g7=0 证明:由已知条件可得:tblg3-1g5+blg7=0 【_lg3+clg5+clg7=O f”axay一=0 这表明0s3,,lg7)是齐次线性方程组{bx-y+bz--0 Lx+cy+cz:0 ‘ la一I 的非零解,故其系数行列式为零,即lb一1bI=ol一 1ccI 展开即得:ab+bc+ca+2abc=l 例2:在AABC中,. 求证cos2A+cos2B+cos~:+cosAcosBcosC=l 证明:’.’sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB 故一sinA+cosCsinB+cosBsinC--0 同理cosCsinA—sinB+cosAsinC--0. cosBsinA+cosAsinB-sinC:--0 此三式可看作以sinA,sinB,sinC为未知数的齐次线 性方程组,显然它有非零解,从而其系数行列式为零,即 l-1cosCcosBl lcosC-IcosAl=O lcosBcosA-Il 将行列式展开并整理即得: cos’-A+cos-’B+COS2C+2cosAcosBcosC=l 例1:设xyz#0,上=a,兰二x-=b,二L=c V+zz十xx十V 求证:a+b+c+abc--0 证明:由已知得y-z=a(y+z),z～】【=+x),x—y:c(x+y),即 f(a-1)y+(a+1)~-O {(b+1)x+(b一1)z=O L(c一1)x+(c+1)y=O ‘ . “xyz#0 . ? .上述关于x.y,z的齐次线性方程组有非零解,其系 l0al-1a+1l 数行列式为零,即lb+l0b-1l--0l一 1+10l 将行列式展开整理即得:a+b+c+abc--0 例2:若==卫±=k且p+q+r==O,求k的值. Pqr r_Ikq+q+r=o 解:由已知得:q+r=-pk,r+p=qk,p+q=rk即{p_kq+r=O Lp+q一=0 上面方程是一关于p,q,r的齐次线性性方程组,显 然,由已知得P,q,r不能同时为0.方程有非零解,故系 l数行列式为 0,即ll—k1l:ol l1一kl 化简整理得(k+1)(I【2-k-2)=0,即(k+1)-2)=0 . ‘ .k=一1或k=2 三,与方程有关的问题 例1:若a,b,C为互不相等的三个实数,则三个方程 ax+2bx+e=0.bx2+2cx+a=0,cx’-+2ax+b--0无公共实根. 证明:若三个方程有公共解.则关于a,b,C的齐次 【收稿日期】2002—02—20 【作者简介】曹春娟(1969_),女,山西运城人,忻州师范学院数学系助教,主要从事代数学研究. 一 54— 2002年曹春娟:齐线性方程组