人教A版数学选修-《椭圆》知能演练轻松闯关训练（含答案）.docVIP

已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：选C.把x＋y－3＝0代入＋y2＝1， 得＋(3－x)2＝1， 即5x2－24x＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－640，∴直线与椭圆相离． 直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m1 B．m0 C．0m5且m≠1 D．m≥1且m≠5 解析：选D.∵直线y＝kx＋1恒过(0，1)点， 若5m，则≥1， 若5m，则必有公共点， ∴m≥1且m≠5. 已知点A，B是椭圆＋＝1(m0，n0且m≠n)上两点，且＝λ ，则λ＝__________． 解析：由＝λ 知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1. 答案：－1 (2012·泰安质检)椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0 所截得的弦长|AB|＝__________． 解析：由得交点为(0，1)，， 则|AB|＝ ＝. 答案： [A级　基础达标] (2012·青岛调研)点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　) A．－a B．a－或a C．－2a2 D．－1a1 解析：选A.由题意知＋1，解得－a. 若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 解析：选C.把y＝kx＋2代入＋＝1得 (2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， 由于Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 已知椭圆＋＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析： 选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝. ∵＝2， 又BF∥OP， ∴a＝2c， ∴＝. 直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是__________． 解析：由＋＝1得－2≤y≤2， ∴－2a2. 答案：(－2，2) 过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________． 解析：将椭圆与直线方程联立： 解得交点A(0，－2)，B. 故S△OAB＝·OF·|y1－y2|＝×1×＝. 答案： 在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)、(0，－)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C. (1)写出C的方程； (2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时⊥？此时||的值是多少？ 解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为a＝2的椭圆，它的短半轴b＝＝1， 故曲线C的方程为x2＋＝1. (2)由 消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0， Δ＝(2k)2－4×(k2＋4)×(－3)＝16(k2＋3)0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－. 由⊥，得x1x2＋y1y2＝0. 而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1， 于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1 ＝. 由＝0，得k＝±，此时⊥. 当k＝±时，x1＋x2＝?，x1x2＝－. ||＝＝， 而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2 ＝＋4×＝， 所以||＝. [B级　能力提升] 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．(0，1) B. C. D. 解析：选C.由题意知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则cb?c2b2＝a2－c2?e2， 又e∈(0，1)，所以e∈. 经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则·＝(　　) A．－3 B．－ C．－或－3 D．± 解析：选B.椭圆右焦点为(1，0)， 设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把y＝x－1代入＋y2＝1， 得3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B. ∴·＝－. 已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.故长轴长为2. 答案：2 直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程． 解：设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝0. 由|MN|＝，得 (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝， ∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，