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第六章 曲线拟合 6.1.2 曲线拟合问题 6.2 线性拟合问题 6.2.1 ||.||2 意义下的线性拟合（线性最小二乘问题） 记 得到关于c1,c2,…,cn的方程组 例1 数据 ti 0 20 40 60 80 100 fi 81.4 77.7 74.2 72.4 70.3 68.8 6.3 线性最小二乘问题 设A是m×n阶矩阵(mn), 称线性方程组 Ax=b (1) 为超定方程组; 这里x∈Rn,b∈Rm. 如果A的秩r(A)=n, 称A为列满秩矩阵. 6.3.4 最小二乘解的存在惟一性 结论1 ：设A是m×n阶矩阵，x∈Rn, b∈Rm. 由线性方程组理论可知，线性方程组 Ax=b (24) 有解的充分必要条件是  r (A)= r (A|b). (25) 定理6.3.7假设方程组(24)有解，令x是其一个解. 那么，方程组(24)的所有解的集合为{x}+N(A). 方程组(24)有 惟一解的充分必要条件是null(A)=0. 这里， null (A)表示A的核子空间的维数. 证明: 首先证明任意的向量y∈{x}+N(A)都是方程组(24)的解. 事实上，将y记为y=x+z, 其中z∈N(A)， 即Az=0，x∈{x}. 因此， Ay=Ax+Az=b,即y满足方程组(24). 反过来， 若y满足方程组(24)， 有 Ay-Ax =A(y-x)= 0， 即y-x∈N(A). 记y=x+(y-x)，从而有y∈｛x｝+N(A). 定理6.3.8当mn时， 超定方程组(1)的最小二乘解总是存在的. 最小二乘解惟一的充分必要条件是null (A)=0.  证: 记b=b１＋b２， 其中b1∈R(A)，b2∈N(AＴ）. 对任意x∈Rn, Ax∈R(A), b1-Ax∈R(A). 因此， ‖r‖22＝‖b-Ax‖22＝‖(b１-Ax)+b２‖22. 由定理6.3.3的推论1和定理6.3.2， ‖r‖22＝‖b１-Ax‖22+‖b２‖22． 要使‖r‖22达到最小等价于确定x，使‖b１-Ax‖22 为0， 即求方程组Ax=b１的解x. 因为b１,Ax, b１－Ax都是R(A)中的向量，因此，可以 把b１看成由A的列向量线性表示， 即b１＝Ax. 换句话说，方程组Ax=b１的解总是存在的，从而方程 组(1)的最小二乘解也总是存在的. 惟一性的证明可直接由定理6.3.7得到. 6.3.1 正交性的有关性质 在线性代数欧氏空间理论中， 将R3中两个向量x,y之间的夹角φ满足的关系式 xTy=‖x‖2‖y‖2cosφ (2) 推广到Rn. 设x,y∈Rn， 由Cauchy不等式  -1≤ ≤1 从而得到Rn中两个向量之间的夹角为 φ=arccos (3) 定理6.3.1 设x, y是Rn中的向量， x与y正交 的充分必要条件为xＴy=0. 证：必要性. 当x与y正交，它们的夹角φ=π/2， 由(2)式， 有xＴy=0. 充分性. 当xＴy=0, 由(3)式，φ=π/2, 即x与y正交. 注： 如果x与y正交， 记为x⊥y 定理6.3.2：设x， y∈Rn， 且x⊥y，那 么： ‖x+y‖22＝‖x‖22＋‖y‖22． 证