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第三章 金属塑性变形的力学基础 §3.1应力分析 一、应力和外力 结论：根据式子可知，在单向均匀受力条件下，可用σ来表示点的应力状态 练习：受力物体内一点的应力张量σ ，试求法线方向余弦未l＝m＝1/2，n=1/√2的斜切平面上的全应力、正应力和切应力 解： 根据题意，应力分析如图， 四.主应力、应力张量不变量和应力椭球面 2. 应力张量不变量 1 2 3 S S1 S2 S3 对于应力椭球面来说，σ1 、σ2、σ3是其主半轴长度 因此，可以通过三个主应力，将物体应力状态分类为9种情况 五、主切应力和最大切应力 切应力达到极值的平面称为主切应力平面，其平面上作用的切应力称为主切应力 取应力主轴为坐标轴，则切应力公式为 因 ，代入公式，得 对l、m求一阶偏导，求极值 分析讨论 1)l＝m＝0，n＝±1，第一组解，切应力为0； 2）σ1＝σ2 ＝ σ3 ，τ≡0，无解； 3） σ1≠σ2 ＝ σ3 ，则l＝ ±1/√2，所有与σ1成45°（或135°）的平面都是主切平面； 4）一般情况， σ1≠σ2 ≠ σ3 a.l≠0，m≠0，则σ1＝σ2 ，条件不符合，无解； b.l＝0， m≠0，斜微分平面始终垂直于1主平面，则 m＝ ±1/√2，故l＝0，m＝n＝ ±1/√2； c.l ≠0，m＝0，同上可得m＝0，l＝n＝ ±1/√2； d.n＝0，m＝l＝ ±1/√2。 将b、c、d结果代入应力状态简化方程中，可求得主切平面上的正应力和主切应力值。 对应的结果值可参考书本P70－表3-2 三个主切应力中绝对值最大的一个，就是所有方位切面上切应力最大值，称为最大切应力（τmax）；若σ1σ2σ3，则最大切应力为 练习： 六、应力偏张量和应力球张量 物体受力左右那个变形，变形分为两部分：体积变形和形状变形。 单位体积改变存在： v：材料的泊松比； E：弹性模量。 设σm为三个正应力分量的平均值（平均应力），则 因J1是应力张量不变量，故σm为张量不变量，公式变为 应力张量改写为 若取应力主轴坐标，可改写为 σij——应力偏张量，与原应力张量相同，改变物体形状； δijσm——静水应力状态（应力球张量）。任何方向都是主方向，且主应力相同，均为σm，改变物体体积。 ’ ’ 应力偏张量是二阶对称张量，同样存在三个张量不变量J1、J2、J3 ， ， ， 若取应力主轴坐标，可改写为 讨论： 练习： §3.2应变分析 一、位移和应变 （一）位移及其分量 位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量. 一般用u、v、w或ui表示 M(xi) M`(xi+dxi) δui M1 M`1 ui+δui u v w u` v` w` x y z 设物体内任一点 M（x，y，z）， 小变形到M1，位移 分量ui（x，y，z） M’无限接近M，变 形后位移分量 ui（x+dx,y+dy,z+dz） U’i按泰勒级数展开，略去高阶微分部分，得 M’点相对M点的位移增量 δui可写成 （二）应变及其分量 1.名义应变及其分量 名义应变 线应变 切应变 单元体变形 棱边长度变化 两棱边夹角变化 P A C P1 A1 C1 B B1 r r1＝r+δr 单元体棱长的伸长或缩短称为 线变形δr，单位长度上的线 变形称为线应变（正应变）ε 所以 ε＝（r1-r）/r=δr/r 因此，三向的线应变为 相对切应变（工程切应变）：单位长度上的偏移量δrt或两棱边所夹直角的变化量φyx P A C P1 A1 C1 B B1 δrt 定义： 因此，应变分量共9个分量，其应变张量表示 由于实际物体变形时其角度变化量不是均匀变化，需要引入一个新概念——刚体转动角ω 2.对数应变 相对线应变：ε＝（r1-r）/r=δr/r 真实的线应变是阶段性变化，存在多个微分应变ε1、 ε2、ε3等，总线应变不是单纯的各微应变相加而得， 因此，需要一个新的量来表示真实应变——对数应变 设dl是每一阶段应变的长度增量，则物体的对数应变为 真实应变定义：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下的应变增量总和。 相对应变ε与对数应变∈的区别： 1）ε不能表示实际变形情况，而且变形程度愈大，误差愈大，可通过∈和ε的曲线比较看出； 2）ε不可叠加，∈可叠加； 3）ε不可比，∈可比。 二、点的应变状态和应变张量 1.点的应变状态 设任意点a(x，y，z) 应变分量aij，由a 引一线元ab，长度r 方向余弦l、m、n； 端点b为a无限接近的 一点，坐标为 (x+dx,y+dy,z+dz)， 则ab在三向坐标的投 影为dx,dy,dz，方向 余弦分别为 x y z a(xi) b1(xi+dxi) δui