高考数学专题四-利用导数解决不等式恒成立中的参数问题--教案.doc

专题四　　利用导数解决不等式恒成立中的参数问题 一、单参数放在不等式上型： 【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数．若对所有都有，求的取值范围． 解：令，则， （1）若，当时，，故在上为增函数，∴时，，即．（2）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．∴时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是． 时，取任何实数成立． 当时，不等式成立，等价于． 令，， 令，，∵，∴， ∴，即在递增，∴． 于是，即在递增，， 满足条件的的取值范围是．时，，求的取值范围． 解：，由，当且仅当时等号成立．故， 从而当，即时，，而， 于是当时，．由可得．从而当时， ， 故当时，，而，于是当时，． 综合得的取值范围为． 说明：本题可采用下述方法： 解：，令，，∵，∴， 于是当时，，在递增，，∴， 在递增，，∴． 当时，由得， 当时，，在递减，而，∴， 即，在递减，而，∴，不满足条件， ∴的取值范围为． 【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数在及时取得极值． （1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 解：（1）， ∵函数在及取得极值，则有，． 即，解得，． （2）由（1）可知，，． 当时，；当时，；当时，． ∴当时，取得极大值，又，． 则当时，的最大值为． ∵对于任意的，有恒成立，∴，解得或， 因此的取值范围为． 最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值． 【针对练习2】（07重庆理）已知函数在处取得极值，其中 、、为常数． （1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 解：（1）由题意知，因此，从而． 又对求导得． 由题意，因此，解得． （2）由（1）知，令，解得． 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数． 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为． （3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值， 要使恒成立，只需． 即，从而，解得或． ∴的取值范围为． 【针对练习3】（10天津文）已知函数，其中．若在区间上， 恒成立，求的取值范围． 解：． 令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论： ①若，则．当变化时，，的变化情况如下表： ∴在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立， 等价于，即，解得，又∵，∴． ②若，则．当变化时，，的变化情况如下表： ∴在区间上的最小值在区间的端点或处得到． 因此在区间上，恒成立，等价于，即， 解得或，又∵，∴． 综合①，②，的取值范围为． 【例题3】（湖南理）． 的单调区间；对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值． 解：（1）函数的定义域是， ． 设． 则，令，则． 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数．∴在处取得极大值， 而，∴，函数在上为减函数． 于是当时，，当时，． ∴当时，在上为增函数． 当时，，在上为减函数． 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）不等式等价于不等式，由知， ．设，，则 ． 由（1）知，，即． ∴，，于是在上为减函数． 故函数在上的最小值为．∴a的最大值为． 小结解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法此类方法的解题步骤是分离变量构造函数非变量一方对所构造的函数求最值一般需要求导数,有时还需求两次导数写出变量的取值范围（10全国1理），若，求的取值范围． 解：，题设等价于．令，则当，；当时，，是的最大值点，，∴的取值范围是． 若对所有的成立，求实数的取值范围． 解：由题意有：上恒成立，令，于是只需要满足，此时既不好找的零点，也不好判断它的正负，，，∵，∴，， 于是在，∴， ∴在上是增函数，∴，∴的取值范围是． （新课标Ⅰ理）已知函数，若时，，求的取值范围． 解法一（变量分离法）： 若，即时，，设函数，，， ∴当时，，上递增；时，，，由得，即． ②若，即时，若，即时，，由（1）知，，在上递增，∴， 由得． 综上所述，的取值范围为 评析：分类的标准是以，为标准选取的，此题选取此解法简单明了，值得思考和借鉴． 解法二原答案有改动（直接构造函数法）： 设函数，． ①当时，，，，∴在上递减， 且，不恒成立． ②当时，令得，，，即∵时，时，，在在，故在取最小值，而∵，∴． 于是，解得，即，解得． 若，即时，则，上， ∴在，，∴成立，∴满足． 若，时，， ∴在，， ∴在上不恒成立． 综上所述，的取值范围为 评析：针对本题解析第二问解答总结如下：分类讨论的分类标准选取是关键，对含有字母的：一级分类按有解和无解分、两类；二级分类是对时考察，二者大小，分，分三类解法三原答案（直接构造函数法）： 设函数，． 有题设可得，即令得，，当即∴当时，，当时，，即在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而，∴当时，，即恒成立， ，即时，则，上， ∴在，，∴成立，∴满足． ③若，