高考数学专题四--恒成立问题.doc

专题四 恒成立问题 在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立. 用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序1.恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于, 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于. 2 能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于, 若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值小于. 3. 恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为, 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为, 【例1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 ． 【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得 第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【例】三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ． 【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映. 设. 甲的解题思路是设对于,若恒成立,求的取值范围.甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题. 按照丙的解题思路需作出函数的图象,然而,函数的图象并不容易作出. 由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时, 成立. 由在时,有最小值,于是,.【例】已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围. 【分析及解】 依定义 在区间上是增函数等价于在区间上恒成立; 而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立; 设 进而在区间上恒成立等价于 考虑到在上是减函数,在上是增函数, 则.于是, t的取值范围是. 【例】已知函数，其中是的导函数 （）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围； （）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点 【分析及解】只考虑（Ⅰ）由题意，这是一个给出参数的范围，解不等式的问题，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，即 令，，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立又由是的一次函数， 只需 即 解得故时，对满足的一切的值，都有解法2.考虑不等式. 由知,,于是,不等式的解为 . 但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善. 为此,设. 不等式化为恒成立,即 . 由于在上是增函数,则, 在上是减函数,则所以, . 故时，对满足的一切的值，都有. 【例】相切于坐标原点的最大圆的方程. 【分析及解】与抛物线相切于坐标原点,所以,可设. 由题意, 抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于 ① 在的条件下,恒成立. 整理①式得 ② 于是,本题又等价于②式在的条件下,恒成立.即, 由得 ,即. 所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为 【例】 【分析及解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题， 这个题目的常规解法是：由题设,. 的两个根为显然,. (1) 当 (2) 当时,. 于是,实数的取值范围是. 我们注意到,题目的要求与大部分见到的题并不相同.这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题,而本题却是一个不等式能成立的问题,因为,题目的条件是只要集合的交集不是空集就可以,即只要不等式，最大， (2) 当时, 于是,实数的取值范围是. 这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.【例】已知函数，，. 若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；【分析及解】只研究第（I）问.， 则 因为函数存在单调递减区间，所以有解. 由题设可知,的定义域是 , 在上有解等价于在区间能成立, 即, 成立, 进而等价于成立,其中. 由得,. 于是,, 由题设,所以a的取值范围是【例】是函数的一个极值点. （Ⅰ）求与