极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节）.docVIP

这或许是史上最全的极值点偏移文章偏移系列文章关注后word分享 其他相关文章8）——好题精选一题多解23例 极值点偏移（9）——好题精选一题多解23例 来源：微信公众数学研讨部落 ：杨春波 今天带来极值点偏移系列 第文章，大家参 极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节） 例4 已知函数有两个不同的零点，，其极值点为． （1）求的取值范围； （2）求证：； （3）求证：； （4）求证：． 解：（1），若，则，在上，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上，在上，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）． （3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件： ，记函数，则有． 求导得，则1是的极小值点，我们选取函数来证（3）中结论；顺带地，也可证（4）中结论． （i）在上，在上，在上；与的符号相同；当时，；当时，；当时，时，，的图像如下： 由不妨设． （ii）构造函数，则 ， （4）（i）同上； （ii）构造函数，则 当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上，有，则，得在上，有，即； （iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上，故，． 点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数． 再次回到题设条件： ，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问． （3）（i），得在上，在上，有极小值，又当时，；当时，，故的图像如下： 由不妨设． （ii）构造函数，则 当时，，，则，得在上，有，即点评：用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度． 注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得． 注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类： 若，则，结论成立； 当时，类似于原解答． 而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别． 思考：练习1（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数来做，用函数来做． 合肥第二次质量检测 求的单调区间 , ，为函数的两个零点，求证 ，两边取对数指数方程处理。 ——未完待续数学探讨部落文章word版 或许是史上最全的极值点偏移文章 文章目录关注后word分享邮箱 新花样— 2、极值点偏移问题专题二——如何选择合理的函数 3、极值点偏移问题专题三——变更结论处理偏移 4、极值点偏移问题专题四——比值代换齐次消元 5、极值点偏移问题专题五——对数平均显神威 6、极值点偏移问题专题六——本质回归泰勒展开 7、极值点偏移问题专题七——历年精选一题多解23例 其他相关文章 来源： 教师教研QQ群 微信公众号：数学研讨部落 数学教师教研QQ群