2016年竞赛与自主招生专题第七讲 定积分与微积分（教师版）.doc

2016 年竞赛与自主招生专题第七讲 定积分与微积分应用 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。 一、知识精讲 定积分：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 。把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为。 二．定积分存在定理： ①当函数在区间上连续时，则在区间上可积； ②设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。 三．定积分的几何意义： 时，，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积； 若，令，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积的负值。 四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式 如果是区间上的连续函数，并且，则。若记 ，则。 牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数问题。 五．洛必塔法则：设（1）如果当时，函数都趋于零；（2）在内，都存在，且；（3）极限存在（或为无穷大）；则存在，且。 上述准则称为洛必塔法则。 六．二次曲线在某点处的切线方程： ①设是圆上一点，则过的圆切线方程为； ②设是椭圆上一点，则过点的椭圆切线方程为； ③设是双曲线上一点，则过的双曲线切线方程为； ④设是抛物线上一点，则过的抛物线切线方程为； 函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。 八．函数的极值： 1.定义： 已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，如果都有 则称函数在点处取得极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有 则称函数在点处取得极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 注意： （1）.函数的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值； （2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。 极值的必要条件：若函数在可导，且在处取得极值，则。 九．两个重要的极限： 1.， 2. 典例精讲 例1．（2011复旦）设为正数，，若在区间上大于0，则的取值范围是（ ）。 （B） （C） （D） ?答案：A ?分析与解：，当时，，所以在上单调递减，所以在上大于0，当且仅当，即。 例2．（2011“华约”）已知，过的直线与该函数图像相切，且不是切点，求直线斜率。 ?分析与解：显然在的图象上。设切点为，，所以。另一方面， 。所以，，而，所以，所以。 例3．（2010南开）求证：。 ?分析与解：令，则， 。 由三角不等式，由知单调递增。又，故，从而单调递增。 所以，，即。得证。 ?注：在高等数学中的泰勒展开式为：。为其前两项。 例4．（2003复旦）已知过两抛物线的交点的各自的切线互相垂直，求。 ?分析与解：联立 得交点坐标为或。 由对称性，不妨设切线在处互相垂直。 对求导，有：； 对求导，有：。 它们切线的斜率分别为、，故。 例5．（2009清华）一元三次函数的三次项系数为，的解集为。 若有两个相等实根，求的解析式； 若在上单调递减，求的范围。 ?分析与解：设，则， 的解集为，故有，且得。 ，有两个相等实根， 整理得或（舍去），，所以。 ，要使在上单调递减，只需 在上恒成立即可，故只需 解得，所以的范围为。 例6．（2010武大）已知是定义在区间上的可导函数，满足，且。 讨论函数的单调性； 设，比较函数与的大小。 ?分析与解：（1）由于。所以在上单调递减。 当时，有。证明如下： 注意到，当时，，故由（1）可得，即。 下证，即证。 为此，考虑函数。 因为，当时，有， 所以在上单调减少，故，即。 于是，即。 例7．（2011“卓越联盟”）（1）设，求； 设，求常数，使得取得最小值； 设（2）中的最小值为，证明。 ?分析与解：（1）； 若，则，显然，当取最小； 若，则，当取最小。 故不妨设。 。 由（1）知， 因， 所以 （*） 记， 令，得。 即时，取最小值。 将代入（*）式右边， 。 由于，所以。 下面只须证明即可。