高考数学课件-课时跟踪检测(十六)　导数与函数的综合问题.doc

课时跟踪检测(十六)　导数与函数的综合问题 一保高考，全练题型做到高考达标 1．(2015·兰州双基测试)定义在实数集上的函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3－2x＋m. (1)求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)≥g(x)对任意的x[－4,4]恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝x2＋x，当x＝1时，f(1)＝2， f′(x)＝2x＋1，f′(1)＝3， 所求切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0. (2)令h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－3x＋m， 则h′(x)＝(x－3)(x＋1)． 当－4＜x＜－1时，h′(x)＞0； 当－1＜x＜3时，h′(x)＜0； 当3＜x＜4时，h′(x)＞0. 要使f(x)≥g(x)恒成立，即h(x)max≤0， 由上知h(x)的最大值在x＝－1或x＝4处取得， 而h(－1)＝m＋，h(4)＝m－， 所以m＋≤0，即m≤－， 实数m的取值范围为. 2．(2016·贵阳监测改编)已知函数f(x)＝(a＜0)． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值； (2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.由f′(x)＝0，得x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值 所以，函数f(x)的极小值为f(2)＝－，函数f(x)无极大值． (2)F′(x)＝f′(x)＝＝. 当a＜0时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表： x (－∞，2) 2 (2，＋∞) F′(x) － 0 ＋ F(x) 极小值 若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1＞0，解得a＞－e2，所以此时－e2＜a＜0. 故实数a的取值范围为(－e2,0)． 3．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解：设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km. 由题意，令40＝k·203，k＝， 则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a＝a(0＜x≤100)． 由f′(x)＝＝0，得x＝20. 当0＜x＜20时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当20＜x≤100时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 当x＝20时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少． 4．(2016·沈阳质量监测)已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数． (1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值； (2)当x＞0时，求证：f(x)≥a； (3)若在区间(1，e)上e－ex＜0恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝，f′(2)＝＝2，a＝4. (2)证明：令g(x)＝a， 则g′(x)＝a. 令g′(x)＞0，得x＞1，g′(x)0，得0x1， g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． g(x)的最小值为g(1)＝0，f(x)≥a. (3)由题意可知e＜ex，化简得＜ln x， 又x(1，e)，a＞. 令h(x)＝， 则h′(x)＝＝， 由(2)知，当x(1，e)时，ln x－1＋＞0， h′(x)＞0，即h(x)在(1，e)上单调递增， h(x)＜h(e)＝e－1.a≥e－1. 故实数a的取值范围为[e－1，＋∞)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 (2015·陕西省质量监测)设函数f(x)＝ex－ax－1. (1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围； (2)当a＞0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤0； (3)求证：对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1＜(n＋1)n＋1. 解：(1)由题意知f′(x)＝ex－a≥0对xR恒成立，且ex＞0，故a的取值范围为(－∞，0]． (2)证明：由a＞0，及f′(x)＝ex－a可得， 函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(ln a)＝eln a－aln a－1＝a－aln a－1， 则g′(a)＝－ln a， 故当a(0,1)时，g′(a)＞0，当a(1，＋∞)时，g′(a)＜0， 从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 且g(1)＝0，故g(a)≤0. (3)证明：由(2)可知，当a＝1时，总有f(x)＝ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时等号成立