高考数学课件-课时跟踪检测(四十一)　数学归纳法.docVIP

课时跟踪检测(四十一)　数学归纳法 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(nN＋)，则f(1)为(　　) A．1　　　　　　　　　　　　　B． C．1＋＋＋＋ D．非以上答案 解析：选C　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5. 2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且kN*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　) A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 解析：选B　本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(nN*)成立，其初始值至少应取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选B　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8. 4．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立； n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立； n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立． n的第一个取值应是3. 5．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1　　　　　　　B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：选C　边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．二保高考，全练题型做到高考达标 1．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　) A．3n－2 B．n2 C．3n－1 D．4n－3 解析：选B　计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2. 2．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　) A． B． C． D． 解析：选C　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝. 3．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　) A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋1 解析：选C　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域． 4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，nN*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． 解析：选B　当n＝k(kN*)时， 左式为(k＋1)(k＋2) ·…·(k＋k)； 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)， 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)． 5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：选A　假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可． 6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(kN*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． 解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立． 答案：2k＋1 7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________． 解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2， 则当n＝k＋1时，左端为 1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 8．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anS