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数学竞赛中不等式问题 　　不等式是数学知识体系的基础,是研究数学问题的重要工具,它渗透于高中数学的各个部分,是数学思想的重要载体之一.而数学思想应用的程度直接反映学生对所学知识的理解、掌握程度,直接反映学生的思维素质,这也正符合数学竞赛的重要功能――选拔人才的客观要求.因此,不等式问题在数学竞赛中屡屡出现,且所占的比重较大.本文总结了数学竞赛中出现的各种不等式问题,运用拆项、添项、并项、套用等方法,说明不等式的灵活应用. 　　1 数学竞赛中出现的不等式问题 　　1.1 蕴含函数、方程思想的不等式 　　函数、方程和不等式有着内在的联系,函数性质的研究依赖于不等式及方程的知识.同样在解不等式时,以函数为桥梁和纽带,往往使问题豁然开朗,起到事半功倍的效果. 　　例1（2005年全国数学联合竞赛题）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)03a2-4a+10a2+a+13a2-4a+1解得0　　即为a的取值范围. 　　观察例1我们不难发现除了蕴含函数思想外,还蕴含着另外一种思想,即等价转化思想.这也是我们下面将要讨论的不等式问题中经常遇到的一类情形. 　　1.2 蕴含转化思想的不等式 　　所谓等价转化思想,就是人们在解决问题时,对非规范性的问题做转化,使之逐步转化为规范性（已有方法解决的常规问题）问题,达到化繁为简,化难为易,变“正面强攻”为“侧翼出击”的思维方法.转化可分为等价转化和不等式转化.在解不等式时经常会用到这种转化思想. 　　例2（2006年全国联赛数学竞赛题）设logx(2x2+x+1)logx2-1则x的取值范围为（）. 　　A:且x≠1C:x1 D:00且x≠12x2+x-10 　　解得x且x≠1 　　由logx(2x2+x-1)logx2-1 　　可得logx(2x2+x-1)+1logx2 　　即logx(2x3+x2+x)logx2 　　所以就有12x3+x2-x2 　　由2x3+x2-x-20 　　得 x1 所以1 　　即x的取值范围为x且x≠1,即选项应为B. 　　在例2中,我们也看到了分类讨论情况,这也是不等式问题中经常遇到的.下面我们就此类问题进行讨论. 　　1.3 蕴含分类讨论思想的不等式 　　有些问题,从已有知识经验知道,必须分类讨论方能解决.还有些问题的分类讨论是产生在思维受阻或不畅的时候.分类讨论是数学???一种重要的思想方法和解题策略,当问题所给的对象不易进行统一研究或推理,只有用分组的形式才能方便的表示出来时,就需要对研究的对象进行分类,对每一类分别研究,得出每一类的结果,最后综合各类结果,得到答案. 　　选择好的思想着眼点,是使思维顺利发展的关键,也是认识为什么分类以及准确恰当分类的前提. 　　2不等式的证明 　　弗莱登塔尔这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来,一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽.”不等式证明问题,还原了数学概念和知识的火热思考过程,突出了数学问题的本质,是考察学生的思维品质和创新精神的好题型. 　　例3（第20届IMO试题） 设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证：++…+≥++…+. 　　证明：因为a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列 　　所以(a1+1)(a2+1)…(an-1+1) 　　 =(1+1)(2+1)…(n-1+1) 　　 =2#8226;3…n=1#8226;2#8226;3#8226;…#8226;n 　　 =a1a2…an 　　所以++…+++++…+ 　　 =++…+++++…+ 　　 =+++…+ 　　 ≥n#8226;=n 　　即++…+≥n-(1++…+) 　　因为n=(++…+)+(1++…+) 　　所以++…+≥+…+ . 　　分析：这个证明很巧,巧在给欲证明的不等式两边同加上1+++…+即++…+然后只需用平均值不等式即可.另外,在使用重要不等式证明时,根据所证明的不等式的结构,常常需要配合一定的变形技巧与转化策略,才可以使用重要不等式最终把问题解决. 　　2.1 套用 　　 例4（1993年高中联赛题）实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5设S=x2+y2则+的值为（ ）. 　　解：因为+≥|xy| 　　所以-≤xy≤ 　　-≤5xy≤ 　　又因为5xy=4x2+4y2-5 　　所以4x2+4y2-(x2+y2)≤5≤4x2+4y2+(x2+y2) 　　S≤5≤S 　　S≤5≤ 　　所以Smax= Smin= 　　所以+=+==. 　　2.2 项的巧拆和巧组 　　例5（第2