华南理工大学数学实验上机作业3.docVIP

实验三 微分方程 地 点： 计算中心 XXX房 实验台号： XXX 实验日期与时间： 20XX年X月XX日 评 分： 预习检查纪录： 实验教师： XX 电子文档存放位置： 电子文档文件名： XXX.doc 批改意见： 实验目的 了解求解微分方程解析解的方法。 了解求微分方程数值解的方法。 学会建立一些简单的微分方程模型，并能分析解决这些问题。 问题1 用dsolve函数求解微分方程： 实验过程： 根据dsolve格式，微分方程为D2y = Dy + 2y，初始条件为y(0) = 1，Dy(0) = 0，将其带入dsolve函数可得到方程字符串y = (2*exp(-t))/3 + exp(2*t)/3，再用函数ezplot即可画出该函数图像。 y = dsolve(D2y=Dy+2*y, y(0)=1,Dy(0)=0); hold on; t = [0, 3]; set(ezplot(diff(diff(y)), t),Color,k); set(ezplot(diff(y), t),Color,b ); set(ezplot(y, t),Color,y); legend(y, y, y, 0) 实验结果： 图1 曲线各阶图像 结果分析： 经验证 ，初始条件符合，故结果合理， 问题2 设河边点O的正对岸为A；河宽OA=h，两岸为水平直线，水流的速度为0.5m/min。有一只鸭子从点A游向点O，设鸭子在静水中的游动速度为1m/min，且鸭子的游动方向始终朝着点O，求鸭子游过的轨迹方程，用MATLAB求解，并做出轨迹图。 实验过程： 图2 受力分析图 如图2，我们进行受力分析。水流方向向右边，鸭子的坐标为xi+yj。 鸭子水平速度为vi = v_water-v_duck*cos(theta) 鸭子垂直速度为vj = -v_duck*sin(theta) 其中cos(theta) = x/sqrt(x^2+y^2), sin(theta) = y/sqrt(x^2+y^2) 所以速度表达式： dy/dt = -v_duck*y/sqrt(x^2+y^2) dx/dt = v_water-v_duck*x/sqrt(x^2+y^2) 相除并化简得到： dx/dy = (x/y) – (v_water/v_duck)*sqrt((x/y)^2+1) 用MATLAB编程得到的代码为： % save as fun.m function [dvar] = fun(~,var) v_water = 0.5; v_duck = 1; dvar = zeros(size(var)); dvar(1) = (-v_duck*var(1))./norm(var)+v_water; dvar(2) = (-v_duck*var(2))./norm(var); end % press F5 to run tspan = [0 1.5]; x0y0 = [0 1]; [t,var] = ode45(fun,tspan,x0y0); plot(var(:,1),var(:,2)) axis([0 0.25 0 1]) % get the equation dsolve(Dx=(x/y)-0.5*sqrt((x/y)^2+1),x(1)=0,y) 实验结果： 图3 鸭子轨迹图 输出： -y*sinh(log(y)/2) 再用以下代码画出轨迹方程的图： y = 0:0.001:1; plot(-y.*sinh(log(y)/2),y) 解析方程图： 图4 解析方程的图像 所得的方程表达式x = -y*sinh(log(y)/2)即 结果分析： 鸭子的轨迹为类似于抛物线的形状，大约在x=0.2时，被水流冲走使得水平位移最大，之后快速回到目标点O。鸭子成功游到对岸。 得到的解析方程形状与求微分方程数值解ode45所画出的图像形状相同，验证了解析解和数值解均正确。 4. 实验总结和实验感悟 经过此次数学实验，让我们学会了如何使用MATLAB中的dsolve和ode45函数求得微分方程的解析解和数值解。在不能求得微分方程的解析解的时候应当适当转换坐标系，或许就能求得解析解。使用ode45函数求得非刚性微分方程的数值解，这个函数在绝大多数的情况下都适用。 订正： 1