(精华讲义设计)数学北师大版八年级下册平行四边形判定.docVIP

平行四边形的判定 平行四边形的判定定理 平行四边形的性质：两组对边分别平行；两组对边分别相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。 一、考虑“对边”关系 思路1：证明两组对边分别相等 例1 如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形. 证明：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DF⊥BC，DB = DC. ∴∠FDB = ∠ACB = 90°. ∴DF∥AC .∴CE = AE =AB. ∴∠1 = ∠2 . 又∵EF∥AC，AF = CE = AE ， ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F. ∴△ACE≌△EFA. ∴AC = EF . ∴四边形ACEF是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行 例 2 已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED = DF = EB. 连结FC. 求证：四边形AEFC是平行四边形. 证明：∵AB＝AC，∴∠B =∠ACB. ∵ED = EB，∴∠B =∠EDB. ∴∠ACB =∠EDB. ∴EF∥AC. ∵E是AB的中点，∴BD = CD. ∵∠EDB =∠FDC，ED = DF， ∴△EDB≌△FDC. ∴∠DEB =∠F. ∴AB∥CF. ∴四边形AEFC是平行四边形. 思路3：证明一组对边平行且相等 例3 如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F 分别是AB、CD上的点，AE = CF，M、N分别是DE、BF的中点. 求证：四边形ENFM是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD = BC，∠A =∠C . 又∵AE = CF，∴△ADE≌△CBF. ∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M、N分别是DE、BF的中点， ∴EM = FN . ∵DC∥AB，∴∠3 =∠2. ∴∠1 =∠3. ∴EM ∥FN . ∴四边形ENFM是平行四边形. 二、考虑“对角”关系 思路：证明两组对角分别相等 例4 如图4，在正方形ABCD中，点E、 F分别是AD、BC的中点. 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形BFDE是平行四边形. 证明：（1）在正方形ABCD中，AB = CD，AD = BC，∠A =∠C = 90°，∵AE =AD，CF =BC， ∴AE = CF. ∴△ABE≌△CDF. （2）由（1）△ABE≌△CDF知，∠1 =∠2，∠3 =∠4. ∴∠BED =∠DFB. ∵在正方形ABCD中，∠ABC =∠ADC， ∴∠EBF =∠EDF. ∴四边形BFDE是平行四边形. 三、考虑“对角线”的关系 思路：证明两条对角线相互平分 例5 如图5，在平行四边形ABCD中， P1、P2是对角线BD的三等分点. 求证：四边形AP1CP2是平行四边形. 证明：连结AC交BD于O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. ∵BP1 = DP2 ，∴OP1 = OP2 . ∴四边形AP1CP2是平行四边形. 4．6，4； 5．AD，BC． 6．D． 7．C． 8．D． 9．提示：先证四边形BFDE是平行四边形，再由EMNF得证． 10．提示：先证四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形，再由GE∥FH，GF∥EH得证． 11．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再由EPQF得证． 12．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再证△REA≌△SFC，既而得到RESF． 13．提示：连结BF，DE，证四边形BEDF是平行四边形． 14．提示：证四边形AFCE是平行四边形． 15．提示：(1)DF与AE互相平分；(2)连结DE，AF．证明四边形ADEF是平行四边形． 16．可拼成6个不同的四边形，其中有三个是平行四边形．拼成的四边形分别如下： A B C D E F （图1） 1 2 3 A B C D E F A B C D E F M N 33 2 1 A B C D O P1 P2 （图5） 6