一类p-laplace方程最优控制问题的一阶必要条件-first - order necessary conditions for optimal control problems of a class of p - la place equations.docxVIP

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2018-06-03 发布于上海
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一类p-laplace方程最优控制问题的一阶必要条件-first - order necessary conditions for optimal control problems of a class of p - la place equations

ClassifiedIndex:O232U.D.C:514.7DissertationfortheMasterDegreeinScienceTHEFIRSTORDERNECESSARYCONDITIONOFOPTIMALCONTROLPROBLEMFORACLASSOFP-LAPLACEEQUATIONCandidate：ZhuXujingSupervisor：A.P.GuoMengshuAcademicDegreeAppliedfor：MasterofScienceSpeciality：PureMathematicsAffiliation：DepartmentofMathematicsDateofDefence：June,2014Degree-Conferring-Institution：HarbinInstituteofTechnology摘要带有约束的偏微分方程最优控制问题在理论研究和实际应用中有很重要的意义。这类问题是流体控制，图像处理，生物种群控制，航天器设计，机械设计和形优化等领域自然的数学模型。在介绍了带有约束的偏微分方程最优控制问题的背景、研究现状及必要的预备知识基础上，本文主要研究了带有Dirichlet边界的p-Laplace方程约束最优控制问题。在限制控制变量非负的前提下，主要研究内容如下：（1）用变分法证明了带有Dirichlet边界条件的p-Laplace方程分布意义下弱解的存在性，并给出控制变量的方向导数满足的方程。之后，又证明了非线性p-Laplace方程强解的存在性。另外还介绍了一类带有p-Laplace方程的微分包含问题，并证明了其强解的存在性，用到的方法与求解上述p-Laplace方程类似。（2）定义了相应的最优控制问题。即定义了一个目标函数，要求的是当目标函数取到最小值时，对应的自变量所组成的集合。之后，文章中证明了最优控制问题解的存在性。（3）给出了p-Laplace方程最优控制问题的一阶必要条件，并对一些特殊情况进行讨论。关键词：p-Laplace方程；约束最优控制；弱解；强解；一阶必要条件-I-AbstractOptimalcontrolofcontrolconstrainedpartialdifferentialequationsisaveryrichsubjectfromthetheoreticalandappliedpointsofview.Itisthemathematicalmodeloffluidcontrol,imageprocessing,biologicalpopulationcontrol,spacecraftdesign,mechanicaldesignandshapeoptimizationandmanyotherfields.BasedontheintroductionofthebackgroundandtheresearchstatusofPDEconstrainedoptimalcontrolproblems,weconsidertheoptimalcontrolproblemofap-LaplacepartialdifferentialequationwithaDirichletboundaryafteralotofbasicknowledgeisgiven.Afterrestrictingthatthecontrolvariableisnonnegative,themainworkofthispaperisasfollow:Wedemonstratetheexistenceoftheweaksolutionofthep-LaplaceequationwiththeDirichletboundaryconditionbythevariationalmethod,andprovidetheequationswhicharemetbythedirectionalderivativeofthecontrolvariable.Thenwealsoprovetheexistenceofthestrongsolutionofthenonlinearp-Laplaceequation.Besidestheaboveresults,withthesimilarmethod,weintroduceakindofthedifferentialinclusionproblemsofthep-Laplaceequationandprovetheexistenceofthestrongsolutionofit.Wedefinethecorrespondingoptimalcontrolproblem.Itissaidtobethatwedefineaobjectivefunct