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研究生录取问题数学模型摘 要本文为求解研究生录取问题和研究生与导师之间最优化的双向选择问题而建立了层次分析法模型并采用了等级量化方法。针对初试与复试总分制不同的的情况，依据层次分析法求得初试与复试的相应权重，再求和得出考生的成绩，进而得出前二十名学生（利用排名表）。用等级量化的方法，考生与导师间的双向选择，尽可能使彼此都满意。进而提出方案的不足及改进方案，达到双赢目的。关键词: 层次分析法 等级量化法 双向选择问题的重述研究生录取问题是近几年的热门话题，研究其合理的录取方案具有一定的现实意义。根据题目要求，需要解决以下几个问题：根据初试，复试成绩的综合性评判，选拔20位学生。在选拔时为了鼓励下一年优秀学生积极报考本学科，对第一志愿考生可以考虑适当倾斜，将最终成绩排名提高两名。通过对学校研究生录取方案的实施，得到最优的录取方式。将此录取方式作为指标，与以学生复试成绩排名的录取方案进行比较，并对学校研究生方案予以评价。根据题目中提到的研究生录取问题提出研究生录取的改进方案，并对该方案的利弊进行评价。问题的分析某校某校某学科方向招收研究生指标是20人，达标参加复试的是31个人.学科分配了十名导师（教授三名，副教授七名）。在录取20名学生时，要将初试与复试的成绩综合考虑，之后根据学生意愿将20名学生与10名导师之间的分配，此过程要公平，公正，公开,并使学生和导师都达到最大的满意度。综合考虑初试与复试成绩，通过层次分析法，确定每一项指标的权重都是合理的，以此求出最合理的综合成绩，保证20名学生是里面最优秀的。根据学生意愿，并使学生与导师的满意度达到最大化来将20名学生分配给10名导师，通过等级量化法实现双向选择的最优化。通过考虑题中研究生录取问题，提出更合理的方案，并对该方案进行利弊评价。模型假设假设学生与导师都是通过表中数据理性的进行选择。假设学生对导师的满意度与导师对学生的评满意度是同等重要。假设在量化学生对导师的满意度时，第一志愿比分最大；在量化导师对学生的满意度时，成绩排名最重要。假设学生所有成绩的重要程度从低到高：政治、基础课、英语、专业课、复试（政治和基础课重要性等同）。符号及变量说明 矩阵最大特征根 矩阵中第i行第j列的元素W最大特征根对应的特征向量n提出的准则的个数CI一致性度量指标CR一致性比率表示每位学生的成绩排列名次所对应的量化成绩；?表示排名所对应的量化比例，均为；表示第j位学生对第i位导师的志愿情况； ?表示不同的志愿所占的比重；模型的建立与求解1、层次分析法介绍层次分析法是一种定性与定量相结合的，系统性、层次性的多目标决策分析方法，指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体是一致的。现在使用层次分析法来计算权重比，进而利用权重比来对31个学生的排序。考虑到待选因素是5个评测因素，需要对这五个因素分配合理的权重，而权重的计算一般使用的是Saaty提出的AHP法。2、具体计算权重的AHP法。AHP法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要性程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重比。构造判断矩阵AHP法在对指标的相对重要性进行评判时，引入了九分位的比例标度，见表1。判断矩阵A中各元素aij为i行指标相对j列指标进行重要性两两比较的值。极重要很重要重要略微重要同等重要略次要次要很次要级次要975311/31/51/71/9表一（2）计算权重将判断矩阵A的各行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。设A的最大特征根为,其相应的特征向量为W,则有。（3）一致性检验为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标CI ：CI=其中表示矩阵C的最大特征值，CI 越小，说明权重的可靠性越高。当CR=0.1时，（CR称为一致性比率，RI?是通过大量数据测出来的随机一致性RI指标，可查表2找到）可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵。阶数123456789101112RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.521.54表二由此得出的权重比如下：政治成绩占总成绩的7.5%；基础成绩课占总成绩的9.5%；英语成绩占总成绩的14%；专业课成绩占总成绩的25%；复试成绩占总成绩的44%。（见表三）判断矩阵E1（政治）E2（基础课）E3（英语）E4（专业课）E5（复试）E1110.3333330.3333330.2E21110.3333330.2E33110.50.33333E433210.5E555321一致性检验0.38