西安交大线性代数期末考题线性代数与几何试题集合.docVIP

线性代数与几何试题集合 一、填空题(每小题4分,共16分) (1). 若矩阵,则= . (2). 已知,则迹= . (3). 若向量组线性相关,则= . (4). 设矩阵为正定矩阵，则的取值范围 是 . 二、单项选择题(每小题4分,共16分) (1). 设，则必有 (A) . 　 (B) . (C) . (D) . 【】和直线 (A) 重合.　 (B) 相交.　 (C) 平行.　 (D) 异面. 【】只有零解的充分必要条件是 (A) 的列向量线性相关; (B) 的行向量线性相关; (C) 是行满秩的; (D) 是列满秩的; 【】，则＝ (A) . 　 (B) . 　　 (C) . 　　 (D) . 　 【】为顶点，为准线的锥面方程。并指出其在平面上的投影曲线的名称。 四、(12分) 取何值时,线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解. 五、(12分). 设二次型，其中 (1) 写出二次型的矩阵; (2) 求一个正交矩阵，使成对角矩阵; (3) 求一个合同矩阵，写出在线性变换下的规范形. 六、 (12分) 向量组，,能否由向量组，，线性表示。若能，求出它们的表达式。 七、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题) 设数域上的三维线性空间中定义的两个运算是和，即，，且是的一个基，是的零元，若 ,, (1) 求的基与维数。 (2) 若中的线性算子的矩阵，求和的一个基。 八、(10分) 设，,且， （1）求的特征值， （2）求可逆阵及对角阵，使. 一、填空题(每小题3分,共12分) (1). 若矩阵,则= . (2). 若向量组的秩为2,则= . (3). 设矩阵,已知齐次线性方程组的基础解系 含有两个向量，则= 　　　　　　 . (4). 设矩阵为正定矩阵，则的取值范围是 二、单项选择题(每小题3分,共12分) (1). 设两个非零矩阵,满足，则必有 (A) 的列向量组线性相关. 　 (B) 的列向量组线性无关. (C) 的列向量组线性相关. (D) 的列向量组线性无关. 【】绕轴旋转一周所形成旋转面的名称是 (A) 单叶双曲面.　(B) 双叶双曲面.　 (C)椭圆面.　 (D) 抛物面. 【】的特征值为1，2，3，则必相似于对角矩阵 (A); (B); (C); (D); (4).设矩阵，则＝ (A) . 　 (B) . 　　 (C) . 　　 (D) . 　　　 【】满足,其中，求矩阵. 四、(12分) 已知直线，直线. （1）记的方向向量为，求过且与平行的平面的方程. 　（2）求与的交点.并写出与的公垂线的方程. 五、(12分) 、取何值时,线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解. 六、(12分). 设二次型, (1) 写出二次型的矩阵; (2) 求一个正交矩阵,使成对角矩阵; (3) 写出在正交变换下化成的标准形. 七、 (12分) 设矩阵的全部特征值之积为24. (1) 求的值；　 (2) 讨论能否对角化，若能，求一个可逆矩阵使为对角阵。 八、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题) (1) 在中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成的一个子空间. 证明元素组是的一个基. (2) 设是上的线性算子，在的基（Ⅰ）：下的矩阵为 ,求在的基（Ⅱ）：下的矩阵 九、(6分) 设为阶方阵，且.证明:的充分必要条件是. 一、(满12分)　 (1). 72. (2).-2 (3).1.(4).. 二、(满12分)　 (1).(A) (2). (B) (3). (D); (4).(B) 三、(满12分)解　因，两端同乘A，,化简得 ， . 四、(满12分)解　（1）.（2分）， 平面的法向量为，（4分）， 故平面方程为.（6分） （2）将代入得，交点.（10分） 故与的公垂线的方程.（12分） 五、(满12分) 解　增广矩阵 当时，，方程组有唯一解，（6分） 当，且时，，方程组无解（8分） 当且时，,该方程组有无穷多解，其结构式通解为,.(12分) 六、(满12分)解　(1);（2分）(2) 特征值为，（5分）当时特征向量为，当时，，取为正交矩阵，