标资产服从分数跳-扩散过程上限型买权期权定价.docVIP

标资产服从分数跳-扩散过程上限型买权期权定价 　　[摘要]本文在假设标的资产服从分数跳-扩散过程,且无风险利率、波动率和期望收益率为时间的非随机函数的情况下,运用保险精算法得到了欧式期权定价公式。并且得到了一类奇异期权――上限型买权的期权定价公式,该公式是标准跳-扩散模型下的推广。 　　[关键词]分数跳-扩散 上限型买权 保险精算法 期权定价 　　 　　一、 引言 　　期权是一种风险管理的工具,它赋予持有者在规定的时间有权而非必须以约定的价格购买或出售一定数量的标的金融资产的权利。自20世纪70年代Black和Scholes发表的《The Pricing of options and corporate liabilities》被金融市场具体应用于期权定价以来,越来越多的学者致力于改进和发展这一经典的模型。 　　传统的期权定价模型一般用几何布朗运动来描述标的资产价格过程,但标的资产的波动性通常具有自相似性和长期依赖性等分形特征,而几何布朗运动不具有相应的性质。我们知道分数布朗运动是自相似过程,具有长期依赖性,因此用分数布朗运动取代几何布朗运动来描述标的资产的价格过程,就可以得到更贴近市场的结果。研究也发现,当市场出现一些重大信息时,价格的变化是不连续的,学者采用跳-扩散模型来反映这一不连续性。 　　本文综合考虑了上述两种情形,采用了保险精算定价的思想得到了资产价格过程服从分数跳-扩散模型的欧式期权定价公式,并且得到了一类奇异期权――上限型买权的定价公式。 　　二、 分数跳-扩散模型 　　1. 分数布朗运动 　　分数布朗运动为一连续的高斯过程称为Hurst指数,满足协方差时,则为标准的几何布朗运动。 　　分数布朗运动是自相似过程,且在时,有长期依赖性,这些性质使得它成为研究数理金融更合适的工具。在时,应用Wick积和分数白噪声理论定义了一种适用于分数布朗运动的随机积分:,本文采用这种积分定义,且设。 　　2.分数跳-扩散模型 　　跳-扩散模型是为了反映股市变化的不连续性而采用的,不同的跳-扩散过程反映了不同的标的资产变化。本文采用的模型,即标的资产的价格过程满足如下的随机微分方程: 　　(1) 　　其中,为几何布朗运动;表示标的资产在内随机跳跃的??数,服从参数为的泊松运动;为服从正态分布的随机变量,而表示标的资产价格跳跃的相对高度;为期望收益率;为波动率。考虑一个风险中性世界,由风险中性定价原理,则可以用无风险利率代替期望收益率,于是解方程(1),可以得到标的资产的风险中性价格模型为: 　　考虑分数布朗运动,以及Wick积得定义及性质[1],可以得到分数跳-扩散运动公式: 　　(2) 　　以及, 　　三、分数跳-扩散模型下上限型买权定价 　　经研究表明,由于当分数布朗运动的H指数时,资本市场有套利,因此风险中性定价等无套利定价理论来无法解决该问题[2][3]。本文采用文献[4]中的保险精算定价方法。 　　 1. 保险精算定价法 　　考虑由两类资产组成的连续贸易金融市场,一类为具有无风险利率的无风险资产(如债券),满足;另一类为风险资产(如股票)在t时刻其价格为,考虑的时间区间为 ,T表示到期日。是定义在完备概率空间上的随机过程,是由产生的。1998年Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg提出期权定价的保险精算方法[4],即利用公平保费原理将期权定价问题转化为等价的公平保费确定问题。 　　定义1 标的资产价格过程在区间上产生的期望收益率被定义为: 　　其中,为t时刻的连续复利收益率。 　　定义2(公平保费原理)[4]:欧式期权的价值等于在期权被执行时股票到期日价格按期望收益率折现的值与执行价格按无风险利率折现的值之差在标的资产实际概率测度下的数学期望。其在到期日的被执行的条件为:欧式看涨(看跌)期权的标的资产到期日价格按期望收益率折现的值与执行价按无风险利率折现的值之差大于零(小于零)。 　　保险精算方法将期权定价问题转化为由于无任何经济假设,所以它不仅对无套利、均衡、完备的市场有效,且对有套利、非均衡、不完备的市场也有效。 　　由公平保费原理,可以得到如下的定理: 　　引理1 (欧式看涨期权)在到期日T,执行价为K的欧式看涨期权在初始时刻的公平保费价值为: 　　其中, 　　引理2 (欧式看跌期权)在到期日T,执行价为K的欧式看跌期权在初始时刻的公平保费价值为: 　　其中, 　　2.分数跳-扩散模型下欧式期权的定价公式 　　定理1 (欧式看涨期权)在到期日T,执行价为K,标的资产服从分数跳扩散过程的欧式看涨期权在t时刻的定价公式为: 　　这里是标准正态累计分布函数。 　　其中, 　　证明:(3) 　　其中, 　　根据定义1,可以