高中数学研究性学习学案(折痕与圆锥曲线的包络).doc

高中数学研究性学习学案(折痕与圆锥曲线的包络) 折纸与圆锥曲线包络线 本课缘起： 本课主要针对教材（新课标数学（苏教版）高二选修 2-1，2008 版，高二选修1-1,2008版；以下教材页码指的皆为2-1版本，1-1可以参看课本查找）的圆锥曲线部分的探究拓展题中，利用折纸来得到圆锥曲线包络线问题，虽然可以直观看到折出来的轮廓是椭圆，双曲线，抛物线，但是却没有系统地给出解答与证明，同时折纸也易于在研究型学习课堂上进行，所以本课针对该问题进行系统具体的解答及利用数学软件《几何画板》进行计算机模拟折纸过程进行教学的多媒体实现，最后给出了包络线的一些扩展，同时给出了该知识的应用，包括高考及高中数学联赛中出现的一些考察该知识的题型. 一．课前准备材料(圆形白色纸片，画有圆的白色纸片，矩形白色纸片) 问题 1.教材 P31第7题（操作题）：准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心 的一点 F，将纸片折起，使圆周过点 F，然后将纸片展开，就得到一条折痕l，这样继续 下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？ 问题 2.教材 P39第8题（操作题）：在纸上画一个圆，在圆外任取一定点 F，将 纸片折起，使圆周通过 F，然后展开纸片，得到一条折痕l，这样继续下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？ 问题 3.教材 P50第11题（操作题）：将一张长方形纸片 ABCD 的一个角斜折，使 D点总是落 在对边 AB 上，然后展开纸片，得到一条折痕l，这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？ 二．同学们课前自己折叠纸片，课堂展示成果． 教学器材：实物展台. 三．成因分析及多媒体实现 教学器材：电脑投影仪.数学软件lt;lt;几何画板gt;gt;模拟折纸过程. 1．针对问题 1 分析：因为圆周过点 F，必然可以在圆周上找到与 F 关于折痕ll 对称的点 E，在 用《几何画板》模拟时，折痕可以看作是线段 EF 的垂直平分线l，只要用计算机跟踪这条垂 直平分线就可以观察出折痕所围成的图形. 得到效果如图 1、图 2： 图1 图2 观察得到结论：折痕围成的轮廓是一个________________. 分析证明： 2．针对问题 2 分析：采取和问题 1 一样的处理方. 可以得到效果如图 3、图 4： 图3 图4 观察得到结论：折痕围成的轮廓是___________的一部分. 3．针对问题 3 分析：D 点总落在对边 AB 上，那么一定可以在 AB 上找到 D 关于折痕 的对称点 P，在用《几何画板》模拟时，折痕可以看作是线段 DP 的垂直平分线l， 只要用计算机跟踪这条垂直平分线就可以观察出折痕所围成的图形. 具体操作步骤如下： 1、画长方形 ABCD； 2、画线段 DP，其中 P 在长方形边 AB 上； 3、画线段 DP 的，选中中垂线→【显示】菜单→追踪垂线 5、作 P 点的动画，制作按钮“运动点” 6、单击按钮“运动点” ，DP 的中垂线开始扫描. 得到效果如图 5、图 6： 图7 以下根据中垂线性质和椭圆的定义给出证明： 证明：如图 7，连结 EA 交 EF 的中垂线于 Q，再连结 QF，设圆半径为 r（定值） QM 为EF的中垂线 \QF = QE 又EA为圆半径则QA+QE=r \QA+QF=rgt;AF 根据椭圆的定义可以知道Q点运动轨迹为椭圆. 该椭圆即为折纸所得轮廓,它以已知圆的圆心 A 和圆内任取一点 F 为焦点,圆半 径 r为长轴长. 近年高考也出现了有关该知识的考题： 例 1：(05 高考数学重庆卷文第 16 题) 11 已知A(-,0)，点B是圆F:(x-2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂 22 直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_________. 例2：（03年全国高中数学联赛第15题）一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A/刚好与A点重合.这样的没一种折法，都留下一条直线折痕.当A#39;取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合. 图 5 图 6 观察得到结论：折痕围成的轮廓是抛物线的一部分.