20140917125312_15游戏中数学思维PPT.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * （2）两堆石子 （2-2）两堆石子数不同，你只要从较多石子的一堆中取走若干颗，使剩下的两堆石子数相同即可. 化归思想 一般情况 任意多堆石子的取胜原则： 如果是偶数堆石子，只要留下的具有相同数目石子的堆数是成对出现的，就是赢局； 一般情况 如果是奇数堆石子，问题就十分复杂了。 我们以3堆为例加以说明。 假设3堆石子数分别为m、n、k，我们将其记为（m，n，k）。 （3）三堆石子 （3-1）三堆石子中至少两堆石子数相同. 化归：此时，把那堆可能不同的一次取走，转化为 留给对方“两堆石子数相同”，赢局. 化归思想 （3-2）三堆石子数各不不同 假设3堆石子数分别为mnk， 记为（m，n，k）,关注m （极端原理） （3-2-1）m=1， （1，n，k）. 起始情况（1，2，3） 起始情况（1，2，3） 穷举：对方取子后只有6种情况： （0，2，3），（1，0，3），（1，2，0） （1，1，3），（1，2，2），（1，2，1） 化归：前3种情况转化为两堆； 后3种情况转化为有两堆石子数相同。 都是赢局. 穷举方法 后续情况1. （1，2，k），k 3，先抓者胜. 化归：将第三堆取剩3，转化为（1，2，3）： 后续情况2. （1，3，k），k 3，先抓者胜. 化归：将第三堆取剩2，转化为（1，3，2） 后续情况3. （1，4，k），k 4， 特例：（1，4，5），穷举,后抓者胜. 结论：留给对方（1 ,2 ,3），（1 ,4 ,5），（1 ,6 ,7），（1 ,8 ,9）为赢局 三堆石子归纳猜想 猜想： 留给对方（1 , 2m , 2m+1）为赢局. 可以用数学归纳法证明. 彻底解决：用二进制，演绎推理 演绎推理：数学家确认结论的唯一推理方式。 归纳猜想 拓展思维. 将2014颗石子依次编号排成一排，甲乙两人轮流从中提取石子，每人每次可以从中提取连续编号的若干颗石子（第一次不得取完），不得不取，也不得跳跃，取到最后一颗石子者获胜。请问：为了保证胜利，你是愿意先手还是后手？如何保证？ … 对称性与博弈、游戏问题 启示 5 分类思想是数学的一种重要思维方式，是数学概念提炼的基础，是简化问题研究的重要手段。 穷举方法是解决有限离散问题的一个有效手段； 合情推理找方向，演绎推理定结论是数学创造的孪生兄弟。 zwj@ 余数的启示 从前面对具体问题的分析中我们看到，赢局与两堆石子数是否相同或两堆石子数除3所得余数是否相同有关。 这里余数的“相同”与“不同”两种判别状态，使我们想到要应用二进制来解决问题。 透过现象看本质 “偶型”与“奇型” 为方便计，我们仍以3堆为例来说明。 把各堆的石子数用二进制表示，比如，残局（1，2，3）表示为（01，10，11）。为了说明赢局的特征，我们把各堆二进制数放在一起做不进位竖式加法，如： “偶型”与“奇型” 残局(1，2，3)、(6，3，5) 、(2，7，6)、(10，12，15)的二进制不进位竖式加法： 偶型 奇型 “赢局”特征 断言： “留下偶型残局”一定是赢局。 “赢局”特征 原因： 偶型残局取子后一定变为奇型残局； 任何奇型残局，一定有一种取法，使之取子后变为偶型残局。 “赢局”特征 于是，一旦你留下一个偶型残局，你就一定有办法永远保持留下偶型残局，这样随着石子一颗颗被取走，最后必然留下最小的偶型残局（0，0，0），这时，你就取胜了。 偶型必然变奇型 对偶型残局（m，n，k），随便从其中一堆（比如第三堆）中取子后，残局变为（m，n，k1）。此时 k 的二进制表示中至少有一位数字由1变为0（奇变偶），而m，n的各位数不变，故其和式中至少有一位由偶数变成奇数，从而（m，n，k1）是一个奇型残局。 奇型可以变偶型 对奇型残局，其二进制数不进位竖式加法的和式中，至少有一个数是奇数。将和式中从左到右的第一个奇数所对应的某一行的1变成0（奇变偶），再把该行后面对应和为奇数的各位1变为0，0变为1（奇偶转换），其它各位保持不变，就能使和式中偶数保持不变，而奇数变为偶数，从而对应一个偶型残局。 一个奇型残局（3，6，12），用二进制表示为（11，110，1100），其二进制不进位竖式加法为 0 1 0 2 101 5 奇型 偶型 “赢局”例子 (1，6，7)，(2，5，7)，(3，5，6)，(4，9，13)的二进制不进位竖式加法： 它们都是偶型残局，因此都是赢局。 启示 6 透过现象看本质 它山之石可以攻玉 人类的发明创造 开始于感性的发散性思维； 终止于理性的收敛性思维。 数学