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小波分析在地磁学中的应用 张亚运 P主要内容： 从傅里叶分析到小波分析 小波变换过程的简介 应用实例 1.Fourior变换 将信号分解成不同频率正弦波的叠加，即把信号投影到一组正交基上 傅里叶分析的局限性 傅立叶级数的系数为常数，不能反映振幅随时间变化的情况； 求傅立叶系数需要考虑的时间域上所有的信息，不能反映局部信息的特征； 加窗 加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不能同时满足。 2.小波分析(wavelet analysis) 产生历史：1974 J.Morlet（法） 首次提出，1986 Y.Meyer 偶然构造第一个小波基…… 就是运用Fourier变换的局部化思想, 进行时空序列分析的一种数学方法。 小波函数 满足 a为尺度因子，b为平移因子 不同点： 小波变换是时间－尺度分析方法，窗口形状可改变，可伸缩、平移，时间窗和频率窗都能改变的时频局部化分析方法。 在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率；高频时相反 灵敏度高，检测突变信息（噪声、奇异点），运算速度快 适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。 小波变换定义 与Fourier变换对比：从 可以看到，两者是在基函数上作了变化，实质仍然是不同成分的叠加。 小波级数 其中φ是小波函数，d是小波系数;j为频率指标，k为时间指标 根据“时—频”的笛卡尔积，由于膨胀系数 的存在，小波变换的“时间—频率窗”的宽度反比于 ，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间-频率分析所希望的。 几种常见的小波函数 1.选择一个小波函数，将其与要分析的信号起点对齐； 2.计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数C。C越大，说明此刻信号与所选小波函数波形越相近;（如图1） 3.将小波函数沿着时间轴向右移动一个单位时间，然后重复1、2步骤，求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完信号的时间长度;（如图2） 4. 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复1、2、3步骤（如图3） 5.对所有的小波函数尺度重复1、2、3、4步骤。 最后，将得到使用不同尺度评估信号在不同时间段的系数，这些系数就表征了原始信号在这些小波函数的投影大小。 小波的“金字塔”分解 小波的重构 正交小波包和向量小波包 3.应用实例 1.小波方法分析地磁扰动 由于多种磁扰的同时发生，地磁观测资料耦合了多种不同时间、空间尺度的变化，增加了分析难度 图一 2000年7月13日五个台站观测X分量的变化 结论 谱强度主要集中在两个周期内 周期1—5h的扰动发生在10到18 时，对应低频变化，高纬的NAL台站先出现较大值，说明地磁场对行星际扰动的响应先出现在高纬区 周期320—2000s的波谱全天出现，但在10—17h的亚暴期间频带变宽并增强，表明亚暴引发高频段的强扰动 2.小波变化分析震磁效应 地震发生前地下电导率发生变化，由电磁感应，其将引起地磁感应场的变化。 在不同频率段内进行分解，若某一深处电导率变化，可在相应频率段看出。 利用小波分析的放大作用，分析震前地磁场异常和地震发生的关系。 将Tg取绝对值，再计算日变幅，再计算日变幅差（周边地区与发震地区的差） 九月的日变幅差达到最大。可能是震源附近断裂活动而导致应力应变能积累和释放的过程 时间大为提前，对地震预报有重要意义 小波变换有助于分析地震前兆信号在时间尺度上得详细结构，更准确地了解信号变化的特征 参考资料： 《小波变换在地磁数据分析中的应用》地震地磁观测与研究 邢西淳 卲辉成 毛娟 刘春 2005.04 《用小波方法分析2000年7月13日地磁扰动》地球物理学进展 周志坚 杜爱民 2004.12 Considerations on Geomagnetic Data Analysis 地球物理学报 Laurentiu , Agata Monica, Natalia Silvia 2010.03 Thanks !