粒子物理和 与核物理实验中的数据分析.pptVIP

5/26/2018 1 粒子物理与核物理实验中的数据分析 杨振伟 清华大学 第二讲：基本概念（续） 艾滋病检验结果再认识 5/26/2018 2 对于个人而言，0.032 是主观概率。如果没有其它额外的信息时，应把 0.001 当作相对频率解释。但是往往在病毒检验前，该相对频率被当作一种信念来处理个人是否患病。 如果还有其它额外的信息，应该给出不同的先验概率。这种贝叶斯统计的特点必定是主观的。例如，受检者有过吸毒历史。一旦验前概率改变，贝叶斯定理就会告诉患病的可能性。对阳性结果的诠释就会改变。 问题：能否构造含自变量的概率？ 5/26/2018 3 随机变量与概率密度函数 假设实验结果为 x (记作样本空间中元素)的概率为 那么概率密度函数 p.d.f. 定义为 f (x)，它对全部样本空间 S 满足 定义累积分布函数为 对于离散型随机变量  分位数、中值与模 5/26/2018 4 分位点 x 定义为随机变量 x 的值，它使得 这里 0    1。因此可以容易求出分位点 随机变量 x 的中值定义为 随机变量 x 被观测到大于或小于中值的概率是相等的。 模定义为使概率密度函数值达到极大的随机变量值。 5/26/2018 5 直方图与概率密度函数 概率密度函数 p.d.f. 就是拥有无穷大样本，区间宽度为零， 而且归一化到单位面积的直方图。 直方图在统计分析中非常重要，应准确理解它的含义。 若 x，y 相互独立，则可构造2-维p.d.f 5/26/2018 8 条件概率密度函数 利用条件概率的定义，可得到 定义条件概率的密度函数 p.d.f. 为 则贝叶斯定理可写为 h(y|x) y y x 5/26/2018 9 名词总汇 随机事例 概率 条件概率 相对频率与主观概率 贝叶斯定理 随机变量 概率密度函数 条件密度函数 直方图 5/26/2018 10 问题 条件概率 如果 A 与 B 相互独立，则从文恩图上得到 因此 5/26/2018 11 解答：概率都是条件概率 由柯尓莫哥洛夫公理，我们定义了概率 P(A)。 因此，所有概率在实际应用中都是条件概率。 5/26/2018 12 解答：互斥与相互独立 因此，根据定义两个相互独立的事例不意味着是互斥的。前 面的问题属于把两者定义混淆了。 5/26/2018 13 证明举例：事例与逆事例 5/26/2018 14 举例：检查给定概率的合理性 如果一个实验有三种可能并且互斥的结果 A，B 和 C ，检查 下列各种情况给出的概率值是否是合理的： 结论：只有1）与4）是合理的。 评论：作为一个合格的实验研究人员，一定要具备判断 结果是否合理的能力！ 5/26/2018 15 举例：检查经验概率密度函数 实验上经常经验性地从直方图中给出概率密度函数（例如 通过拟合直方图分布等等），但是需要确定得到的函数是否 满足概率密度函数的定义，例如 试判断哪一个可以用作概率密度函数？ 答案：1）有负概率值；2）累积函数值大于1。因此，两者 在给定的随机变量范围内都不能用作概率密度函数。 5/26/2018 16 数据分析中的问题 粒子与核物理实验中对动量的测量通常是分别测量 在已知两分量测量值的概率密度函数情况下，总动量为 如何导出总动量的测量值的概率密度函数？ 是研究随机变量函数的p.d.f问题。 5/26/2018 17 一维随机变量的函数 随机变量的函数自身也是一个随机变量。 假设 x 服从 p.d.f. f (x)，对于函数 a(x)，其p.d.f. g(a)为何？ 5/26/2018 18 函数的逆不唯一情况 假如 a(x) 的逆不唯一，则函数的 p.d.f. 应将 dS 中对应于 da 的所有 dx 的区间包括进来 5/26/2018 19 多维随机变量的函数 如果两个独立变量 x 与 y，分别按 g(x) 与 h(y)分布，那么函数 z = xy 应具有何种形式？ 多维随机变量的函数(续一) 5/26/2018 20 记作 g 与 h 的Mellin卷积 如果函数为 z = x+y ，则应具有何种形式？ 记作 g 与 h 的傅立叶卷积 注意：通常将两者皆称为 g 与 h 的卷积，已相同记号表示。 5/26/2018 21 多维随机变量的函数(续二) 5/26/2018 22 期待值 通常记为： 对离散型变量，有 方差定义为 通常记为： 标准偏差： 5/26/2018 23 协方差与相关系数 定义协方差 (也可用矩阵表示 )为 相关系数定义为 如果 x，y 独立，即 则 5/26/2018 24 举例：样本平均值 假设实验上研究一核素衰变寿命，在探测效率为100%的情况 下，每