第十章 直线回归和相关分析 《试验的设计与统计分析》.pptVIP

三、回归预测与控制 1．条件总体平均数?Y/X ( )的区间预测 根据回归模型的定义，每一个X上都有一个变量的条件总体，当X = x0 时，该条件总体的平均数为 其标准误为 于是预测条件总体平均数?Y/X ( )的95%置信区间为： 2．个别值的预测 这是以一定的保证概率估计任一X上Y单个预测值的存在范围。个别值的估计不仅受 和b的抽样影响，而且还受到总体分布变异度的影响，当x=x0时，y0的标准误为： 于是y0的(1 – ?)×100%可靠度的区间预测为： 例10.5〕测定迟熟早籼广陆矮4号在5月5日至8月5日播种时（每隔10d播一期），播种至齐穗的天数（x，d）和播种至齐穗的总积温（y，℃）的关系于表10.3。试计算在x = 65时，95%可靠度的总积温平均值和个别值的预测区间。 表10.3 广陆矮4号播种至齐穗天数x和总积温（℃）的关系 x 70 67 55 52 51 52 51 60 64 y 1616.3 1610.9 1440.0 1400.7 1423.3 1471.3 1421.8 1547.1 1533.0 解：由表10.3可算得:SS x = 444.0000，SSy = 55273.4022，SP = 4718.2000, 进而得： a = 1496.0444 – (10.63 × 58) = 879.50（℃) 故有直线回归方程 当x = 65时，其点预测为： 在x = 65处， 及y的标准差分别为： 因而，当x = 65时，95%可靠度的总积温平均值预测区间为： 而95%可靠度的总积温个别值y预测区间为： 对于表10.3资料，95%可靠度的预测区间的变化见图10.3。图10.3也叫预测图 图10.3 表10.3资料的95%可靠度预测图 3、 控制 控制问题是预测问题的反问题，若要求Y的个别值在内的可靠性为(1 - ?)× 100%，应把X控制在什么范围？首先，由于Y个别值(1 - ?)× 100%可靠度的上下限分别为 因而当控制个别值时，应满足 。同理当控制平均值时，控制区间应满足： 第十章 直线回归 和相关分析 英国生物学家高尔顿（Francis Galton，1822—1911)提出“回归”一词。1889年出版的《自然遗传》（ Natural inheritance） 一书中首次提出并阐明了“相关”的概念及计算两个变数相关程度的“相关系数”（Correlation）的概念。 第一节 回归和相关意义 一、基本概念 一般变量之间的关系可以分为两类：一类是函数关系，另一类是统计关系。 函数关系是一种确定性的关系，一个变量的取值和变化完全取决于另一个或几个变量的取值和变化。 统计关系是一种非确定性的关系，即一个变量的取值受到另一变量的影响，两者之间既有关系，但又不存在完全确定的函数关系。 对具有统计关系的两个变量的资料进行初步考察的简便而有效的方法，是将这两个变量的n对观察值（x1，y1）、（x2，y2）、…、（xn，yn）分别以坐标点的形式标记于同一直角坐标平面上，获得散点图（scatter diagram）。 根据散点图可初步判定双变量X和Y间的关系，包括： ①X和Y相关的性质（正或负）和密切程度； ②X和Y的关系是直线型的还是非直线型的； ③是否有一些特殊的点表示着其他因素的干扰等。 二、回归分析和相关分析 1．回归分析 对两个变量进行回归分析是定量地研究X和Y的数值变化规律，根据这种规律可由一个变量的变化来估计另一个变量的变化。 在回归模型中，两个变量有因果关系，原因变量称自变量(independent variable) ，一般用X表示；结果变量称依变量(dependent variable)，以Y表示。X是已知的或是可控制的，没有误差或误差很小，而Y则不仅随X的变化而变化，还要受到随机误差的影响。 2．相关分析 对两个变量进行相关分析，其目的是研究X和Y间有无相关以及相关程度、相关性质（方向）。 在相关模型中，两个变量是平行的，没有因果关系的自变量和依变量之分，且皆有随机误差。 第二节 直线回归 一、直线回归方程(linear regression equation) 1．直线回归方程与参数估计 上式读作“y依x的直线回归方程”。 x是自变量； 是和x的量相对应的依变量y的点估计值； a是x=0时的值，即回归直线在y轴上的截距； b是x每增加一个单位数时， 平均地将要增加（b0时）或减少（b0时）的单位数，叫回归系数。 分别对a和b求偏导数并令其为0，即可获得正规方程