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换元法在解题中应用 　　摘 要： 换元法作为一种重要的数学方法，在求解数学中的某些问题时可以找到解答的简捷途径，收到事半功倍的效果。 本文将从因式分解、不等式证明和求值问题这三个方面来研究换元法在数学解题中的巧妙应用。 　　关键词： 换元法 因式分解 不等式证明 求值问题 　　 　　随着科学技术的日益数学化，各门学科对数学的要求也日益提高。换元法作为一种重要的数学解题方法，可以通过变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，将非标准型问题标准化、复杂问题简单化。使用换元法，很多问题往往会迎刃而解。 　　1.巧用换元法分解因式 　　用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使复杂的问题得到简化。以下列举出几种应用换元法分解因式的形式。 　　1.1整体换元法 　　整体换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。 　　例1：分解因式：（a+3a-2）（a+3a+4）-16 　　解：设a+3a-2=m，则 　　原式=m（m+6）-16=m+6m-16=（m+8）（m-2） 　　=（a+3a+6）（a+3a-4）=（a+3a+6）（a+4）（a-1） 　　1.2均值换元法 　　均值换元是指在某些问题中，已知两未知量的和，这时可将这两个未知量用它们的均值和一个新变量来表示，从而使计算化繁为简，我们称这种方法为均值换元法。 　　例2：分解因式：（a+1）（a+3）（a+5）（a+7）+15 　　解：原式=［（a+1）（a+7）］［（a+3）（a+5）］+15 　　=（a+8a+7）（a+8a+15）+15 　　取“均值”，设m=［（a+8a+7）+（a+8a+15）］=a+8a+11，则 　　原式=（m-4）（m+4）+15=m-16+15=（m+1）（m-1） 　　=（a+8a+12）（a+8a+10）=（a+2）（a+6）（a+8a+10） 　　1.3局部换元法 　　局部换元法是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。 　　例3：分解因式：（x-4x+3）（x-4x-12）+56 　　解：设x-4x=y，则 　　原式=（y+3）（y-12）+56=y-9y+20 　　=（y-4）（y-5）=（x-4x-4）（x-4x-5） 　　=（x-4x-4）（x-5）（x+1） 　　1.4常值换元法 　　常值换元???是用字母代替题目中的已知数值。对某些题目，利用这种常值换元法来求解，往往能化繁为简、巧妙获解。 　　例4：分解因式：x+2004x+2003x+2004 　　解：设2004=y，则 　　原式=x+yx+（y-1）x+y=（x-x）+（yx+yx+y） 　　=x（x-1）+y（x+x+1）=（x+x+1）（x-x+y） 　　=（x+x+1）（x-x+2004） 　　1.5倒数换元法 　　倒数换元指将互为倒数的用一个字母来代替它从，从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。 　　例5：分解因式：a+7a+14a+7a+1 　　解：原式=aa+7a+14++ 　　 =aa+?摇+7a+?摇+14 　　 =a［（m-2）+7m+14］设a+=m 　　 =a（m+7m+12）=a（m+3）（m+4） 　　 =aa++3a++4=（a+3a+1）（a+4a+1） 　　2.利用换元法证明不等式 　　换元法是指对结构比较复杂，量与量之间关系不太直观的问题，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，达到简化结构，便于研究的形式。 　　换元法在不等式的证明中应用广泛，常采用的方法有三角换元法、均值换元法、增量换元法及分母换元法。 　　2.1三角换元法 　　把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。 　　例6：已知a，b∈R，且a+b≤1，求证：|a+2ab-b|≤。 　　证明：设a=rcosθ，b=rsinθ，其中|r≤1|，θ∈［0，2π），则 　　|a+2ab-b|=|rcosθ+2rsinθcosθ-rsinθ| 　　=|rcos2θ+rsin2θ| 　　=r|sin2θ+|≤ 　　∴|a+2ab-b|≤，原不等式得证。 　　2.2均值换元法 　　使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。 　　例7：已知a，b∈R，且a+b=1，求证：（a+2）+（b+2）≥。 　　证明：因为a，b∈R，且a+b=1，所以设a=+t，b=-t（t∈R），则 　　（a+2）+（b+2）=+t+2+-t+2 　　=+t+-t