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高中训练导数部分 1、已知函数f(x)=excosx-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 2、已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性. (2)当a0时,证明f(x)≤--2. 3、已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性. (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 4、设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性. (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 5、已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R, (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 6、设函数f(x)=lnx-x+1. (1)讨论f(x)的单调性.(2)证明当x∈(1,+∞)时,1x. (3)设c1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)xcx. 7、设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间. (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 8、已知函数f ?x?＝?x－a?ln x－x. （Ⅰ）若f ?x?为增函数，求a的取值范围； Ⅱ当a＝0时，证 参考答案 1、已知函数f(x)=excosx-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 【命题意图】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计算能力与分析解决问题的转化能力. 【解析】(1)f(x)=ex·cosx-x,所以f(0)=1, 所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,所以f(0)=0, 所以y=f(x)在(0, f(0))处的切线过点(0,1),k=0, 所以切线方程为y=1. (2)f(x)=ex(cosx-sinx)-1,设f(x)=g(x), 所以g(x)=-2sinx·ex≤0,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f(x)≤0, 所以f(x)在上单调递减, 所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-. 2、已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性. (2)当a0时,证明f(x)≤--2. 【解析】(1)f(x)= =(x0), 当a≥0时,f(x)0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当a0时,则f(x)在上单调递增, 在上单调递减. (2)由(1)知,当a0时,f(x)max=f 则f-=ln++1, 令y=ln t+1-t, 则y=-1=0,解得t=1, 所以y=ln t+1-t在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以ymax=y(1)=0, 所以y≤0, 即f(x)max=--2, 所以f(x)≤--2. 3、已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性. (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 【命题意图】本题主要考查利用导数解决函数的单调性及利用函数的单调性求参数的取值范围问题,主要考查考生解决问题的综合能力. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a), ①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增. ②若a0,则由f(x)=0得x=lna. 当x∈(-∞,lna)时,f(x)0;当x∈(lna,+∞)时, f(x)0,所以f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. ③若a0,则由f(x)=0得x=ln. 当x∈时,f(x)0; 当x∈时,f(x)0, 故f(x)在单调递减, 在单调递增. (2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0. ②若a0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即0a≤1时,f(x)≥0. ③若a0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2.从而当且仅当a2≥0,即0a≥-2时f(x)≥0. 综上,a的取值范围为. 4、设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性. (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 【命题意图】导数的计算,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,导数在研究函数中的应用,意在考查学生的转化、化归思想和求解运算能力. 【解析】(1)f(x)=(1-2x-x2