高一上学期《函数单调性的证明》练习题.docVIP

高一《函数单调性的证明》练习题 1．函数y=f（x）对于任意x、yR，有f（xy）=f（x）f（y）﹣1，当x0时，f（x）1，且f（3）=4，则（　　） A．f（x）在R上是减函数，且f（1）=3 B．f（x）在R上是增函数，且f（1）=3 C．f（x）在R上是减函数，且f（1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=2 2．已知函数y=f（x）在（0，）上为增函数，且f（x）0（x0）．试判断F（x）=在（0，） 上的单调性并给出证明过程． 3．已知函数y=f（x）在（0，）上为减函数，且f（x）0（x0），试判断f（x）=在（0，）上的单调性，并给出证明过程． 4．已知函数f（x）对任意x，yR，总有f（x）f（y）=f（xy），且当x0时，f（x）0，f（1）=﹣． （1）求f（0）； （2）求证：f（x）在R上是减函数； （3）求f（x）在﹣3，3上的最大值和最小值． 5．函数f（x）对任意a，bR，有f（ab）=f（a）f（b）﹣1，且当x0时，f（x）1． （Ⅰ）求证：f（x）是R 上的增函数； （Ⅱ）若f（﹣4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣3）2．6．函数f（x）对任意的a，bR，都有f（ab）=f（a）f（b）﹣1，并且当x0时，f（x）1． （1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）3． 7．函数f（x）对任意的a、bR，都有f（ab）=f（a）f（b）﹣1，并且当x0时，f（x）1． （1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）若f（2）=3，解不等式f（m﹣2）3． 8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）f（y）1，当x0时，f（x）﹣1； （Ⅰ）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数； （Ⅱ）若f（1）=1，解关于x的不等式；f（x22x）f（1﹣x）4． 9．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、yR，满足条件：f（xy）=f（x）f（y）﹣1，且当x0时，f（x）1． （1）求f（0）的值； （2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数； （3）解关于t的不等式f（2t2﹣t）1． 10．定义在R上的函数 y=f（x） 对任意的x，yR，满足条件：f（xy）=f（x）f（y）﹣2，且当x0时，f（x）2 （1）求f（0）的值； （2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数； （3）解不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣20． 11．已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，yR都满足f（x）?f（y）=f（xy）． （1）求f（0）的值，并证明对任意的xR，有f（x）0； （2）设当x0时，都有f（x）f（0），证明：f（x）在（﹣，）上是减函数． 　 高一《函数单调性的证明》练习题 参考答案与试题解析 1．函数y=f（x）对于任意x、yR，有f（xy）=f（x）f（y）﹣1，当x0时，f（x）1，且f（3）=4，则（　　） A．f（x）在R上是减函数，且f（1）=3 B．f（x）在R上是增函数，且f（1）=3 C．f（x）在R上是减函数，且f（1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=2 【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由f（3）=f（1）f（2）﹣1=f（1）f（1）f（1）﹣1﹣1=4，解出f（1）． 【解答】解：设x1x2， 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）f（x2）﹣1﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣11﹣1=0， 即f（x1）f（x2）， f（x）为增函数． 又f（3）=f（1）f（2）﹣1=f（1）f（1）f（1）﹣1﹣1=3f（1）﹣2=4， f（1）=2． 故选：D． 2．已知函数y=f（x）在（0，）上为增函数，且f（x）0（x0）．试判断F（x）=在（0，） 上的单调性并给出证明过程． 【分析】首先，设x1，x2（0，），且x1x2，然后根据函数f（x）的单调性进行证明即可． 【解答】解：函数F（x）=为（0，）上减函数，证明如下： 任设x1，x2（0，）且x1x2， y=f（x）在（0，）上为增函数， f（x1）f（x2），f（x1）0，f（x2）0， F（x1）﹣F（x2）=﹣=， f（x1）f（x2）， f（x2）﹣f（x1）0， f（x1）0，f（x2）0， f（x1）?f（x2）0， F（x1）﹣F（x2）0， 即F（x1）F（x2）， 则F（x）为（0，）上的减函数． 3．已知函数y=f（x）在（0，）上为减函数，且f（x）0（x0），试判断f（x）=在（0，）上的单调性，并给出证明过程． 【分析】首先，设x1，x2（0，），且x1x2，然后，比较大小，从而得到结论． 【解答】解：函数为（0，）