命题的形式及等价关系-沪教版必修1教案.docVIP

1.4 命题的形式及等价关系 基础热身：(1)命题“若，则”的逆否命题是（　　） 若≥，则≥或≤ 若，则 若或，则 若≥或≤，则≥ (2)命题“若函数在定义域内是减函数,则”的逆否命题是（ ） ，则函数在其定义域内不是减函数 B、若，则函数在其定义域内不是减函数 C、若，则函数在其定义域内是减函数 D、若，则函数在其定义域内是减函数 知识梳理： 数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。 在数学中，一般只研究数学命题。 (2)命题一般地由条件、结论两部分组成。 命题常写成“如果α，那么β”的形式。 对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 注意: α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。 简单命题：不含逻辑联结词的命题。 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。 如：(1)3是12的约数. (2)3是12的约数且3是15的约数. 2．判断命题的真假： 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 确定一个命题是真命题必须作出证明； ①直接证明；②间接证明（同一法、反证法） 直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。 反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立。 （2）确定一个命题是假命题，只要举反例即可。 例1：判断下列命题的真假，并说明理由。 (1)如果是有理数，那么它一定是自然数。 (2)如果是有理数，那么2＞． (3)若(R，x+1= x+3，那么关于x的方程有惟一解。 (4)如果一元二次方程x2+bx+c=0((0)满足c0,那么这个方程有实数根。 （5）如果一元二次方程x2+bx+c=0((0)有实数根，那么满足c0。 （6）一个有理数与一个无理数的和是无理数。 证明：设命题的反面成立，即这两数的和为有理数。 设，则为有理数， 与是无理数矛盾 所以，命题“一个有理数与一个无理数的和是无理数”是真命题。 3.推出关系: 确定一个命题是真命题必须作出证明， 即证明若满足命题条件就一定能推出命题结论。 （1）如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，记作；α(β，读作“α推出β”。 即:α(β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。 如果α成立不能推出β成立，记作:α?β。 即: α?β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。 如:α:两个角是对顶角 β:两个角相等； α(β α:两个角相等 β:两个角是对顶角。 α?β （2）如果α(β并且β(α，记作α(β，叫做α与β等价。 如： α:三角形是等腰三角形 β:两底角相等； α(β α:x2+y2=0(x(R,y(R) β:x=y=0. α(β (3) 如果α(β, β(γ,那么α(γ 即：推出关系具有传递性 如：α: x9 β:x5 γ:x1 例2：个位数为5的自然数能被5整除。 证： α1:自然数n的个位数为5 ? α2: n=10k+5，k(N ? α3: n=5(2k+1)，k(N ? α4: n能被5整除. 例3：用“?、?、(”表示α、β之间关系 (1) α：实数 x 满足 x2=9， β：x =3 或 x =-3 (2) α：A∩B = U， β：A = U 或 B = U (U为全集) (3) α：A(B， β：A∩B = A (4) α：， β： (5) α：x5 β：x8 (6) α：b=0 β：直线y=kx+b过原点 1．命题的四种形式：原命题：若P， 则q． 逆命题：若 ,则 ． 否命题：若 ，则 ． 逆否命题：若 ，则 ． 2. 四种命题间的关系： 1° 原命题与逆否命题总是具有 的真假性， 逆命题与否命题也总是具有 的真假性． 互为逆否的两个命题 的真假性． 2°互逆命题或互否命题，它们的真假性 ． 3°原命题与它的逆否命题, 是等价. 叫做等价命题. 因此, 证原命题为真, 与证它的逆否命题为真等效. 于是, 为了证明原命题为真, 有时考虑证明 为真 例1：把命题“负数的平方是正数”改写成“若p则