7讲随机变量函数分布.pptVIP

概率论与数理统计 第七讲 主讲教师：张冬梅 博士 副教授 浙江工业大学理学院 问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布, §2.4 随机变量函数的分布 求截面面积 的分布。 一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。 这个问题无论在理论上还是在实际中都非常重要。 2.4.1 离散型随机变量函数的分布 解：当 X 取值 -1，0，1，2 时， Y 取对应值 4，1，0 和 1。 由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1， P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7， P{Y=4} = P{X=-1} = 0.2 . 例1：设随机变量 X 有如下概率分布： 求 Y= (X – 1)2 的概率分布。 得 Y 的概率分布： 一般地，若X是离散型 随机变量，概率分布为 总结：离散型：一对一 vs 多对一。 2.4.2 连续型随机变量函数的分布 解：设 Y 的分布函数为 FY(y)，则 例2：设随机变量X 有概率密度 求 Y = 2X+8 的概率密度。 于是Y 的密度函数 注意到 得 求导可得 当 y0 时, 例3：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。 解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x), 注意到 Y=X2 ≥0，故当 y≤0时，FY(y)=0； 若 则 Y=X2 的概率密度为： 总结：关键是设法从{ g(X)≤y }中解出X, 从而得到与 {g(X)≤y }等价的X的不等式 。 例如: 用{X≤(y-8)/2 } 代替 {2X+8≤y}, 用 代替{ X2≤ y }。 这样做是为了利用已知的 X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY (y)。 －求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的常用方法。 定理的证明与前面的解题思路类似。 其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数， 定理1: 设 X是一个取值于区间[a, b], 具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量, 又设 y= g(x)处处可导的严格单调函数, 记 (α, β) 为g(x)的值域，则随机变量Y = g(X)是连续型随机变量，概率密度为 例4：设随机变量X在 (0,1) 上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。 解：在区间 (0, 1) 上，函数 ln x 0， 故 y = -2ln x 0, 于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上单调下降， 有反函数 由前述定理，得 注意取 绝对值 已知 X 在 (0,1) 上服从均匀分布， 代入 的表达式中 得 即Y 服从参数为1/2的指数分布。 随机变量函数的分布问题； 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时, 关键一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值 {X∈ G} 的形式，然后利用 X 的分布求 P { g(X)≤y }。 小结