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第六章 节 中心力场 量子力学.pptx
第六章 中心力场;§1 中心力场中粒子运动的 一般性质;对于势能只与 r 有关而与θ, ? 无关的有心力场,使用球坐标求解较为方便,
;取体系(自由度3)的力学量完全集为(H, l2, lz);求解方程时,可作以下替换,使得计算更方便,令:
;在任何体积元找到粒子的概率应为有限值:
当r→0, 若Rl(r) ∝1/ra,要求a3/2.
当l=1时, Rl(r) ∝r-(l+1)不满足要求。
l=0时, ψ∝R0(r)Y00∝1/r,但此解并不满足能量本征方程
;两体问题化为单体问题 ;可以证明:
;第11页;分离变量;§2 无限深球方势阱;方程的解可以表示为 sin(kr)的形式,再根据r=a处的边界条件,sin(ka)=0, 有;l≠0时,径向方程为;当a取有限值时,k只能取一系列离散值,令jl(ξ)=0的根为;L nr;A5. 合流超几何函数;s=0 时的级数解,;第20页;§3 三维各向同性谐振子;束缚态边界条件要求;方程有两个解,;要满足束缚态边条件,要求F(α,γ,ξ)中断为 一个多项式。要求α=0 or 负整数;能级简并度
能级均匀分布,间隔?ω。
能级一般是简并的,能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l.
给定能级EN, nr = 0, 1, 2, 3, …… , (N-1)/2 or N/2
l = N - 2 nr = N, N-2, N-4, N-6, …… , 1(N奇) or 0(N偶)
N偶时, 能级简并度(N奇同样结果);直角坐标系;相应的能量本征值为;§4 氢原子;具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r)
满足下方程:;r→∞时,方程化为;再令;第32页;另一方面
;因此与En相应的径向波函数可表示为:
;综上,氢原子束缚定态的波函数;最低的几条能级的径向波函数是:;氢原子内电子状态的光谱学标记;能级简并;而磁量子数m 有(2l+1)个可能值:
;第40页;氢原子内电子位置的几率分布;第42页;第43页;第44页;第45页;径向概率分布函数的基本特征:;第47页;角向位置概率分布;?=0, m=0:|Y00|2 =(1/4?),与? 也无关,球对称分布。
;?=1, m=±1时,|Y1,±1(θ)|2 =(3/8π)sin2? 。在?=π/2时,有最大值。在? =0(z向)时,Y1,±1= 0
;?=1, m=0时,|Y1,0(?)| 2= (3/4π) cos2?。正好与上面相反,在? = 0时,最大;在? =π/2时,等于零。
;第52页;电流分布与原子磁矩;通过细环截面d? 的电流为:
;第55页;类氢离子;第57页;例题1:氢原子处在基态 ,求:
(1) r的平均值;
(2) 势能的平均值;
(3) 最可几半径;
;第59页;第60页;第61页;第62页;Review 中心力场中粒子运动一般性质;第64页;练习 (习题5.7)
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