第七章 节 重积分3.pptVIP

柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数 ?=常数 z=常数 x y z o 圆柱面 半平面 平 面 如图，柱面坐标系中的体积元素 r为常数 = r 故 dxdydz=rdrd?dz 常见积分区域 提示? ?的上边界曲面为z=4? 下边界曲面为z?x2?y2? 用极坐标可表示为z??2? 所以 ?2?z?4? 提示? ?在xOy面上的投影区域为x2?y2?4, 用极坐标可表示为: 0???2, 0?q?2?. 由曲面z?x2?y2与平面z?4所围成的闭区域? 闭区域?可表示为? 解 ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 例1 解 将 投到xoy 面得D 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。 例1. 计算 其中? 由 与 z=1 所围闭区域. 解： ? D: x2+y2≤1 z =1 ? z =r z =0 ? x y z 0 D z=r z=1 x y z 0 z=r z=1 1 D 例2. 计算 ? ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解： D: x2+y2≤1 ? 思考问题 x y z 0 1 例3. 再解例1 其中?是 由 与 z=1 所围闭区域. 解：用? = ? 截 ? 得 D(?) 而 0≤ ? ≤2? 故 原积分= x y z ? x z ? y D(? ) z 1 r 0 z= r 1 例4. 再解例2 其中? ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：用? = ? 截 ? 得 D(?) 而 0≤ ? ≤2? 故 原积分 = x y z 0 ? x y z 0 ? 0 1 1 r z 解 关键在于定出 的变化范围 的范围容易定出 z 呢？ 例2 注意到 6. 三重积分球坐标下的计算公式 M ? (r, ?,?) x=OPcos ? z= r cos? (0≤r+?, 0≤?≤?, 0≤?≤2?) y= OPsin ? ? M 0 z x y ? ? r P x y z = r sin? cos? = rsin? sin? 球面坐标的三组坐标面： r =常数 ? =常数 ? =常数 dxdydz= r2sin? drd?d? z x y 球 面 半平面 圆锥面 §7-3 三重积分的概念与计算 1.三重积分的定义 特别地 ? ? 2.若f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续或分块连续，则f(x,y,z)在Ω上可积。 质量 体密度 体积 被积函数的线性关系， 积分区域的可加性， 积分中值定理。 ? ? 3.三重积分的性质 当 ? ? R3，有 (x, y, z)?? , d? = dV 则 三重积分 直角坐标系下，体积元素为 dV=dxdydz dz dy dx y x z ? 0 则 ? ? 4.三重积分在直角坐标系下的计算 z x y x+y+z=1 0 例1. 计算 其中?是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 1 1 D x+y=1 x y 例2. 计算 其中 ? 是由抛物 柱面 及平面y=0, z=0, 解： D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤ y x z ? 0 D 0 y x y=y1(x, z) z 0 ? y=y2(x, z) Dxz y x x=x2(y, z) z 0 ? x=x1(y, z) Dyz y x x 例3. 将 化为三次定积分，其中 ? 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将? 向 xy 平面投影. z= x2+y2 x2+y2=1 ? D: x2+y2≤1 z=1 ? z=1 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 解2：先对 y 积分，将 ? 向 xz 平面投影： z= x2+y2 ? Dxz: x2 ≤z ≤ 1, z=1 ? 1 ≤x≤1 z= x2+y2 ? x y z 0 Dxz 1 ?1 思考问题 先对 x 积分，怎样做？ 解 (2) 外层积分为一元函数的定积分时：化为一个二重积分和一个定积分（截面法） ? :(x, y)?D(z), z1≤z≤z2 0 x z y z2 z z1 ? D(z) 定理2 例4. 计算 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 D(z) 1 解：D(z): x2+y2≤z