第3章 节 -微分中值定理与导数的应用 高等数学.pptVIP

§3.1 微分中值定理 §3.2 洛必达法则 §3.3 泰勒公式 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 §3.5 函数的极值与最大值最小值 §3.6 函数图形的描绘;第三章 微分中值定理与导数的应用;一、罗尔（Rolle）定理;在定义中,若把不等式改为 f (x0) ? f (x)（或f (x0) ? f (x)） 则称f (x0)为函数的一个局部最大值（或局部最小值），称点x0为局部最大值点（或局部最小值点）. 局部最值，局部最值点可以相应地定义.显然,极值就是局部最值, 极值点就是局部最值点,反之则未必.;注 这定理等价于：若x0是局部最值且f (x)在点x0可导, 则f ?(x0) = 0. ;二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 ;拉格朗日中值公式，还有下面几种等价形式: ; ; . 值得注意的是，拉格朗日中值公式无论对于a b，还是a b都成立，其中 是介于a与b之间的某一确定的数.;例2 证明下面的不等式:;推论2 设函数f (x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间 (a, b)内可导且f ?(x) ? g?(x)，则在[a, b]上有 f (x) = g(x) + c，其中c是常数. ;例3 证明恒等式: arcsin x + arccos x = ，-1? x ?1. ;三、柯西（Cauchy）中值定理 ;第三章 微分中值定理与导数的应用;一、洛必达法则 ;例1 求 .;例3 求 .;2. 待定型;例5　求 .;例6 求 .;3. 其它待定型;例8　求 .;例9　求 .;例10　求 .;例11　求 .;注意：;例12 求 . ;例13 求 . ;第三章 微分中值定理与导数的应用;定理1（泰勒（Taylor）中值定理） 如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一x∈(a,b)，有 + 其中 ， 这里 是x0与x之间的某个值.;当n = 0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式: ( 在x0与x之间). 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. ;在不需要写出余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可表示成 Rn(x)的表达式称为佩亚诺（Peano）型余???，以上公式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.; 在泰勒公式中，如果取x0=0，则 在0与x之间.因此可令 ，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin） 公式: ;例1 写出函数f (x) = ex 的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式. ;同理有：; 例3 计算e的值，使其误差不超过10-6.;第三章 微分中值定理与导数的应用;一、函数单调性的判定法 ;例1 讨论函数 的单调性.;例3 确定函数 的单调区间.;例4 证明:当x 1时， .;二、曲线的凹凸性与拐点;定理2 设函数f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数，那么: (1)若在(a, b)内 ，则f (x)的曲线在[a, b]上是凹的; (2)若在(a, b)内 ，则f (x)的曲线在[a, b]上是凸的.;定义2 设f (x)在区间I上连续，x0?I (但x0不是I的端点). 如果曲线y = f (x)在经过点 (x0, f (x0)) 时，曲线的凹