第3章 节 3.3 向量组的最大线性无关组和的秩 线性代数课件.pptVIP

第三节 向量组的最大线性无关组和秩 作业：85页 3，4，5，6，7，8，10，12，13，14，15，16，18，23，26，27 交作业时间，答疑时间，习题课时间： 地点：D1136 均为 星期天晚上7：—9：00 向量组与矩阵 为A的列向量组 为A的行向量组 定义3.3.1 设有两个 n维向量组 如果A中 都能由 向量组B 每一个向量 线性表示 即 则称 向量组A 能由 向量组B 线性表示 简记为 其中 定理3.3.1 若 向量组A 能由 向量组B 线性表示， 且 向量组A 线性无关， 则 证明 由条件得到 简记为 其中 假若 则 个 维 向量组 线性相关， 存在 个 不全为零 的实数 使 向量组 线性相关， 与 线性无关 矛盾。 故 推论 对于两个向量组A和B， 则A中的向量个数 且A线性无关 若A能由B 则这两个向量组 且它们都线性无关 的向量个数 不超过 若两个向量组等价 线性表示, B中的向量个数 一定相等 若 向量组A 能由 向量组B 线性表示， 且 向量组B 能由 向量组A 线性表示， 则称 向量组A 与向量组B 等价 等价定义 性质4 则 性质5 能够由 则它们的秩相等 若两个向量组等价， 若向量组 A 向量组 B 线性表示， A 的秩 ≤ B 的秩 定理3.3.2 (1) 若矩阵A 初等行变换 经过有限次 变成矩阵B， 则 的行向量组 与 的行向量组 等价， 的任意 个 列向量 与 中对应的 个 列向量 有相同的 线性相关性 (2) 若矩阵A 初等列变换 经过有限次 变成矩阵B， 则 的列向量组 与 的列向量组 等价， 的任意 个 行向量 与 中对应的 个 行向量 有相同的 线性相关性 定理3.3.3 也等于它的列向量组的秩 等于它的行向量组的秩 一个矩阵的秩 如果一个矩阵的秩等于3 则它的行向量组的秩等于3 它的列向量组的秩也等于3 推论3 个 维列向量组 (1) 时 向量组 线性相关 (2) 时 向量组 线性无关 向量组 线性相关 (3) 时 向量组 线性无关 向量组 线性相关 求 例1 的秩 和它的一个 最大线性无关组 解 对矩阵 进行初等行变换 变成行阶梯形矩阵 第一行 乘以 加到 第三行 第二行 乘以 加到 第四行 只有3个 非零行 原向量组 的秩 为3， 它的一个 最大线性无关组 每一条横线上 得 对应原矩阵 或 或 或 例2. 并求一个最大线性无关组 解 . 求下列向量组的秩， 向量组 的秩为3 它的最大线性无关组为 小结 设 向量组 线性无关 行向量组 n维 时， 方阵 满秩 向量组 线性相关 时， 83页 1（1） 设向量组 线性相关, 则 解 对矩阵 83页 1（3） 设向量组 的秩 为2， 则 解 行列式