第3章 连续系统的数字仿真通用算法 计算机仿真技术 知识课件.pptVIP

龙格--库塔法的误差估计及步长控制 允许 误差 改变下一步 计算步长 - ? k ? + 步长控制 策略 积分 算法 误差估计 本步 计算 图2.2龙格?库塔法步长控制示意 第3章 连续系统的数字仿真通用算法 数值积分法 欧拉法 梯形法 龙格-库塔法 稳定性分析 离散相似原理将连续系统通过虚拟采样开关和信号保持器转换成离散系统，建立适应于数值计算的数值仿真模型。 离散化原理 应用离散相似原理建立仿真模型时，根据对输入信号和信号保持器的不同选择，可以构造各种各样的算法，即相应的数字仿真模型。 数值积分算法 连续系统数字仿真中离散化最基本的算法是数值积分算法。对于形如 的系统，已知系统变量y的初始条件 ，现在要求y随时间变化的过程y(t).计算过程可以这样考虑，首先求出初始点 的 ，微分方程可以写作： 右图所示曲线下的面积就是 ，由于难以得到f(y,u,t)积分的数值表达式，人们对数值积分方法进行了长期探索，其中欧拉法是最经典的近似方法。 梯形法 为进一步提高计算精度，人们提出了“梯形法”。 梯形法近似积分形式如式(2.4)所示，令： 已知： 时的近似值 ,那么： (2.4) 可见，梯形法是隐函数形式。采用这种积分方法最简单的预报?校正方法是用欧拉法估计初值，用梯形法校正，即： (2.5) (2.6) 式(2.6)称作预报公式，采用欧拉法，式(2.5)为校正公式，采用梯形法。用欧拉法估计一次 的值，代入校正公式 得到的校正值 。设e是规定的足够小正整数，称作允许误差，若i=0, i+1=1称作第一次校正； 则 称作第二次校正；通过反复迭代，直到满足 ，这时 是满足误差要求的校正值。 数值积分方法采用递推方式进行运算，而采用不同的积分方法会引进不同的计算误差，为了提高计算精度，往往会增加运算量。就同一种积分算法而言，为提高计算精度，减小积分步距,计算量增大，影响系统运算速度。 因此，计算精度和速度是连续系统仿真中常遇到的一对矛盾，也是数字仿真中要求解决的问题之一。也就是说，选择合适的算法、合适的软、硬件环境，在保证计算精度的前提下，考虑怎样提高仿真的速度。 数值积分法(微分方程初值问题数值计算法):微分方程在已知初值情况下进行求解 经典的数值积分法可分为两类：单步法(最常用的算法--龙格库塔法 )与多步法（线性多步法－阿达姆氏法）。 二阶龙格---库塔法 ,四阶龙格---库塔法 ,四阶龙格---库塔--默森法 ,二阶龙格---库塔--费尔别格法 ,四阶龙格--库塔--夏普法 (略) 数值积分法——二阶龙格—库塔公式(RK-2 ) 数值积分法——四阶龙格—库塔公式(RK-4 ) 龙格-库塔法基本原理 在连续系统的仿真中，主要的数值计算工作是对的一阶微分方程进行求解。因为 因此主要问题就是如何对 进行数值求解，即如何对 进行积分。通常称作“右端函数”计算问题。 龙格-库塔法基本原理 龙格-库塔法基本原理 龙格-库塔法基本原理 龙格-库塔法基本原理 龙格-库塔法基本原理 所有龙格---库塔公式都有以下特点： 在计算时 只用到 ，而不直接用 等项。换句话说，在后一步的计算中，仅仅利用前一步的计算结果，所以称为单步法。显然它不仅能使存储量减小，而且此法可以自启动，即已知初值后，不必用别的方法来帮助，就能由初值逐步计算得到后续各时间点上的仿真值。 步长h在整个计算中并不要求固定，可以根据精度要求改变，但是在一步中，为计算若干个系数 (俗称：龙格---库塔系数)，则必须用同一个步长h。 龙格--库塔法的精度取决于步长h的大小及方法的阶次。 3. 若在展开台劳级数时，只取h这一项，而将 以及 以上的项都略去，则可得： 这就是欧拉公式，因此欧拉公式也可看作是一阶龙格--库塔公式。它的截断误差正比于h平方，是精度最低的一种数值积分公式。 仿真精度与系统的稳定性 仿真过程的三类误差 通常，系统仿真的最终精度与现场原始数据的采集、使用的计算机设备档次、仿真计算时的数值积分公式等均有相应的关