高考导数常考、易错、失分点分析.docVIP

高考导数常考、易错、失分点分析 【易错点1】复合函数的求导 例1、函数 的导数为 。 【易错点诊断】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。 解析： . 【迷津指点】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。 [适用性练习] （1）设是函数的一个极值点。 （1）求与的关系式（用表示）答案：. （2）y=ln（x＋） 答案: y′=·（x＋）′=（1＋）=. 【易错点2】关于导数的几何意义(还有一个易错题) 例2、曲线在点处的切线方程为 。 【易错点诊断】此题易由，从而得到以A点为切点的切线的斜率为3，即所求切线方程为的错误结果，事实上要注意到点A不在曲线S上。 解析：设过点A的切线与曲线S切于点处，由于由导数的几何意义可知切线的斜率①，又由两点连线的斜率公式知②，联立①②得，从而切线的斜率=-9，故切线方程为。 【迷津指点】在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否在曲线上，若此点在曲线上，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不在曲线上，则需按照上述方法即应先设切点，再求斜率，写出直线的方程的方法解答。特别的若涉及到直线与圆锥曲线相切一类问题除可采用导数知识解答外，还可采用代数方法即应用判别式的方法来解答，这一类巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。 【适用性练习】 （1）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（） （A） （B） （C） （D） 解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且 于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得 ＝0或－4，代入可验正D正确。选D （2）曲线在点处的切线方程是 （A） （B） （C） （D） 解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D. （3）已知曲线，求过点P（2，4）的切线方程. 解:∵ P（2，4）在曲线上,当切点为P（2，4）时, , ∴过点P（2，4）的切线方程为;当切点不是P（2，4） 时,设切点为,则,又(), ∴,即, 又,∴, 即,, ,,又 ∴∴切点为,∴过点P（2，4）的切线方程为. 综合得过点P（2，4）的切线方程为或. 【易错点3】有关函数的单调区间 例3、已知函数 ，求函数单调区间。 【易错点诊断】求函数的单调区间要树立定义域优先的原则，本题易由得出函数为单调递增函数的错误结论。 解析：据解析式可知函数定义域为，由于,故函数在和上分别为增函数. 【迷津指点】单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。 【适用性练习】 （1）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。 答案:当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. （2）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； 解：（I），则 因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0有解,又因为x0时，则ax2+2x－10有x0的解.①当a0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－10总有x0的解； ②当a0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－10总有x0的解；则△=4+4a0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1a0. 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）. 【易错点4】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例4、已知函数上是减函数，求a的取值范围。 【易错点诊断】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。 解析：求函数的导数（1）当时，是减函数，则故解得。（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求a的取值范围是。 【迷津指点】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①与为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。②时，与为增函数的关系:若将的根作为分界