学生版 直线和圆锥曲线常见题型.docVIP

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型 直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．，其中是点的中点坐标。 2、弦长公式：若点在直线上， 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 或者 。 3、两条直线垂直：则 两条直线垂直，则直线所在的向量 4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围 思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。 解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： 证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。 练习：1、过点P(3,2) 和抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）条。 　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1 规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图） 一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况： （1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线； （2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线； （3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。 二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况： （1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点； （2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线； （3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线； （4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线； （5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。 题型二：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。 例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 练习1：已知椭圆过点，且离心率。 （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。 练习2、设、分别是椭圆的左右焦点．是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 题型三：动弦过定点的问题 圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜