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一元多项式的因式分解探讨 　　摘 要：给出了一元多项式因式分解的几种常用方法，如综合除法、行列式法、因式分解唯一性定理、单位根的性质等。解释了这些方法的理论来源，给出具体实例，并对每种方法加以评论。在行列式法中，运用行列式的性质、拉普拉斯定理、范德蒙行列式、循环行列式进行因式分解。? 　　关键词：因式分解；综合除法；行列式法；单位根法? 　　中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1672-3198（2009）01-0277-01?? 　　 　　1 一元多项式因式分解的方法? 　　 　　对于一元整系数多项式f（x）=anx?n+a?n-1?x??n-1?+L+a1x+a0，如果它在指定数域上有一次整因式，我们首先考虑用综合除法分解出它的一次整因式。? 　　例1对多项式25x?3-15x?2-23x+5进行因式分解? 　　解：多项式最高次项系数25的因子有±1，±5，±25，常数项5的因子有±1，±5，所以这个多项式的根有可能是±1，±15，±125，±5。逐一检验，得出15是多项式的有理根。? 　　根据综合除法，? 　　所以，原式=x-15（25x?2-10x-25）=（5x-1）（5x?2-2x-5）? 　　综合除法虽然可以分解出一元多项式的整因式，但是有时需要试验的因子很多，而对每个因子都要做一次相应的综合除法，这给计算增加了一些麻烦。? 　　 　　2 利用因式分解惟一性定理? 　　 　　数域P上任一次数大于0的多项式f（x）都有惟一的标准分解式：f（x）=ap??r1?1（x）p??r2?2（x）L P??rs?s（x）（*）其中a为f（x）的首项系数，p1（x），L ps（x）是P上首项系数为1的不可约多项式且两两互异，r1，r2，L，r5都是正整数。对（*）式两边求导，得：f′（x）=a#8226;g（x）#8226;p??r1-1?1（x）p??r2-1?2（x） L p??rs-1?s（x）其中每个p1（x）都不能整除g（x）。我们还可以得到：（f（x），f′（x））=p??r1-1?1（x）p??r2-1?2（x） L p??rs-1?s（x）则存在q（x）=ap1（x）p2（x）L ps（x），使f（x）=（f（x），f′（x））q（x），由此可见q（x）和f（x）具有完全相同的因式，差别只是q（x）中的因式的重数为1，所以求f（x）的因式就可以转化成求q（x）的因式。? 　　例2 求f（x）=x?5-10x?3-20x?2-15x-4的标准分解式? 　　解：f′（x）=5x?4-30x?2-40x-15，（f（x），f′（x））=x?3+3x?2-3x+1=（x+1）?3，得q（x）=f（x）f（f（x），f′（x））=x?2-3x-4=（x-4）（x+1），? 　　所以，f（x）=（f（x），f′（x））q（x）=（x+1）?4（x-4）? 　　这种分解因式的方法很实用，就是把原多项式转化成新的多项式进行分解，新的多项式都是次数较小，比较容易因式分解的，一般中学的方法就可以了。求（f（x），f′（x））用辗转相除法，求 用带余除法。? 　　3 利用行列式的性质? 　　在高等代数中，行列式是一个较好的工具，我们可以巧妙地运用行列式的相关性质对一些多项式进行因式分解。我们知道二阶行列式 　　a?11?a?12??a?21?a22=a?11?a?22?-a?12?a?21? 　　，由此启发，可以将一个多项式F表示成2个新的多项式的差，而每个新的多项式又可表成2个多项式的乘积，即F=MN-PQ，于是F=MP?QN，也就是把多项式F转换成二阶行列式的形式，然后再对这个二阶行列式进行初等变换，提出因式。? 　　例3 对多项式x?4-6x?3+x?2-24x-20进行因式分解? 　　解：原式=x?2（1+6x+x?2）-4（5+6x）=x?25+6x?41+6x+x?2= 　　x?2-44-x?2?41-6x+x?2=（x?2-4） 　　1-1?41+6x+x?2=（x?2-4）（x?2+6x+5）=（x+2）（x-2）（x+1）（x+5）? 　　x?4+6x?3+x?2-24x-20转化为x?25+6x?41+6x+x?2 　　，而不是其它的形式，是为了在接下来的初等变换中，提出因子（x?2-4）。这种化为二阶行列式进行因式分解的方法技巧性较强，关键在于如何把原多项式转换成恰当的二阶行列式，操作有点难度，不便通用。下面介绍一种比较一般的方法：? 　　对任意的一元n次多项式P（x）=anx?n+a?n-1?x??n-1?+?L?+a1x+a0均可写成n阶行列式的形式 ? 　　P（x）=x-10?L?00? 　　0x-1?L?00? 　　000?L?