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非线性系统的混沌现象 　　摘要:文章分析了具有混沌动力学特征的非线性三阶自治电路,给出了混沌电路中非线性电阻的构造方法, 使用EWB软件对混沌电路进行了计算机仿真,通过实际硬件电路板测试得到混沌吸引子、倍周期分岔、周期性窗口等预期分析结果,此结果对深入研究混沌理论及混沌的同步和控制有积极借鉴作用。 　　关键词:非线性;混沌;吸引子;倍周期分岔;周期性窗口 　　中图分类号:TP271.8 文献标识码:A 　　 　　1 引言 　　 　　非线性系统的性能是复杂多变的。长期以来,人们对非线性电路中的平衡状态和周期振荡状态研究较为充分,取得了许多有用的结果。直到40多年前的一次重要模拟结果出现后,使非线性领域的研究进入了新纪元。1963年,美国麻省理工学院著名的气象学家洛伦兹(E.N. Lorenz)在研究一个气象学模型时,发现了异常的情况。洛伦兹经过长时间反复地在计算机上试验,其结果都是一样与经典认识不同。它的特点是响应一直出现类似随机的振荡,状态轨迹在一个区域内永不重复地运动着,这一现象后来被称之为混沌[1] [2]。 　　混沌是非线性动力系统在一定参数条件下产生的对初始条件具有敏感依赖性的随机运动。混沌运动的根本原因是运动方程的非线性;混沌运动具有内在随机性,对初值非常敏感,若两次运动的初值有微小差别,长时间后两次运动会出现较大的、无法预知的偏差。混沌现象是自然界的普遍现象,也是非线性系统所特有的复杂状态。 　　 　　2 混沌电路? 　　 　　2.1 电路理论分析 　　混沌现象在非线性电路中也普遍存在,电路呈现混沌现象,原则上应考虑两个条件[3] [4]: 　　(1)二阶或二阶以上的强制系统;三阶或三阶以上的自治系统; 　　(2)至少有一个非线性器件。 　　图1所示的三阶自治电路由四个线性元件(两个电容、一个电感、一个线性电阻)和一个非线性电阻所组成。 　　 　　2.2 构造非线性电阻电路 　　非线性电阻的部分可以用运算放大器做成负阻抗电路,且当 大于某一电压值时,运算放大器开始饱和,将两个这样的运算放大器并联,就可以得到伏安曲线为图2的非线性电阻,完成的电路如图3所示。 　　 　　3 EWB仿真分析 　　 　　用EWB(Electronics Workbench)软件对图3电路进行计算机模拟仿真分析。这里取C1=0.3474uF,C2=0.0155uF,L1=11.0534mH,R1=13.9596Ω,R2=218Ω, R3=374.1Ω, R4=2.19kΩ, R5=3.0811kΩ, R6=18.596kΩ, R7=21.7kΩ,代入非线性电阻的分段线性特性方程中。通过改变不同的W1的值,可得不同的状态轨迹, W1=1.14kΩ处的状态轨迹如图4所示,C2、C1两端的电压时域波形分别如图5、图6所示。 　　结果显示,电路中电容电压和电感电流出现类似噪声的无规则振荡,它是一种有界的稳态过程,其状态平面上的轨迹按某种内在规律永不重复地穿来穿去,这种类似“蝴蝶”形状的图形称为混沌吸引子。混沌吸引子又称奇怪吸引子,它是混沌运动中特有的,具有复杂的拉伸、折叠和伸缩的结构,使得按指数规律发散的系统保持在有限的空间内,即一切位于吸引子之外的运动都向吸引子靠拢,对应着稳定的方向;而一切到达吸引子内部的运动都相互排斥,对应着不稳定的方向。 　　在计算机模拟分析时,如果改变一下初始状态,其响应将发生重大变化,这是因为混沌运动对初始状态非常敏感。 　　 　　4 硬件电路调试 　　 　　按图3电路制成印刷电路板,考虑到元器件参数的标称值,实际电路中取C1=0.33uF,C2=0.015uF,L1=10mH,R1=5.1Ω,R2=220Ω, R3=390Ω, R4=2.2kΩ, R5=3kΩ, R6=18kΩ, R7=22kΩ,固定电压正负5V。将输出端信号S2-OUT、S1-OUT分别接到示波器的CH1、CH2探头,工作方式选择X-Y方式。将W1调到最小,示波器屏上可观察到一条直线,调节W1,直线变成椭圆,到某一位置,增大示波器的倍率,反向微调W1,可见曲线开始作倍周期变化,曲线由一周期增至二周期,由二周期增至四周期,……,直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线,这是一个单涡旋吸引子集。继续微调W1,单吸引子突然变成了双吸引子,只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃,这就是混沌吸引子,它的特点是整体上的稳定性和局部上的不稳定性同时存在。微调W1使其在1.1kΩ左右时,电路进入混沌状态,用示波器观察到的实际特性与计算机分析的结果非常接近。 　　利用这个电路,还可以观察到周期性窗口。仔细调节W1,原先的混沌吸引子突然出现了一个三周期图像,继续微调W1,又出现了混沌吸引子,这一现象