线性代数测试卷1-6答案.docVIP

线性代数参考题一答案：（注：为了大家共同的利益，我做了每一道题，希望你发现有做错处及时告诉我，谢谢，你的朋友冯国晨 gcfeng@center.njtu.edu.cn） 填空题(每小题3分,满分30分) 1．与；2.；3.；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；5.特征根为0；6.；7.；8.；9.负定；10. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7（p.26）答案： 令 则 令，则 因而，构成一个极大无关组，且 陈治中版《线性代数》习题4.6（p.121）答案：p.211 将二次型化成矩阵 ，显然为实对称阵，可以正交对角化的，即 由特征方程，得， 当 对应的特征向量为，标准化为； 当 对应的特征向量为和 正交化，标准化为 ，标准化 因而，且 令 由 以及线性无关得线性无关。 由已知有 及 ，显然有特征根分别为0和。故此可对角化。 线性代数参考题二答案： 当 当 单位化得正交矩阵 所以得到标准型： 线性代数参考题三答案： 二. 1）；2）；3）； 4） 5） 三． 四． 五．特征根为： 当，当， 故 线性代数参考题四答案： 四． 线性代数参考题五答案： 二. 五. ； 且 线性代数参考题六答案： 一.填空题答案 1．-1；2. ；3.；4.线性相关；5.；6. 1；7.；8.；9.；10. 2 二. 居余马《线性代数》$1.2 例8(p.17)：将按第一行展开，得 递推公式改写为 而 ，，于是有 ，整理得 将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到 即得，整理得 三．由于，再由已知得，，再由可得到 四. 令，则对其进行行的初等变换有 ，由得，其中一个极大无关组为： 五. 由以及知必为奇异阵，即（否则若为非奇异阵，必有，此与矛盾），而 ，得 六. 设此实二次型对应的矩阵为，则有 ，令得特征根为、、。 当时，特征向量为，标准化得； 当时，特征向量为，标准化得； 当时，特征向量为，标准化得； 令，则有，且，该二次型不是正定的。 七. 陈治中《线性代数》习题3.25(p.106) 由于，故此是对称阵，另外， 因此也是正交阵。 八．32学时不作为要求。 线性代数参考1-6答案 - 8 -