信号与系统_3_差分方程求解.pptVIP

* 信号与系统 ?三峡大学 电气信息学院 电子工程系 第3-*页 ■ 电子教案 第三章 离散系统的时域分析 第三章 离散系统的时域分析 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应 二、阶跃响应 3.3 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应 二、阶跃响应 3.3 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 1.6 系统的描述 二、离散系统 1. 解析描述——建立差分方程 例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则 y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k) 即 y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 3.1 LTI离散系统的响应 离散信号的变化率有两种表示形式： （1）一阶前向差分定义：?f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 因此，可定义： 3.1 LTI离散系统的响应 （3）差分的线性性质： ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) （4）二阶差分定义： ?2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)] = f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: ?mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m) 3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 1.6 系统的描述 二、离散系统 1. 解析描述——建立差分方程 例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则 y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k) 即 y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 3.1 LTI离散系统的响应 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 3.1 LTI离散系统的响应 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k