2011-数学漫谈第四讲.pptVIP

数学漫谈第四讲 Introduction A Game 出现5点的组合方式有几种？ 1 2 In another way 1 1 2 3 It’s more boring Find a general way to solve 数学不是某些聪明人的私有物 从这个角度，我们可以再次研究组合的定义 记 实际含义? 弃or取 What’s the meaning of generating function Assignments I 1 2 3 6 Points 1 2 3 4 二项式定理的发现 为了便于研究其中的规律, 1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数. 他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和. 用公式表示为: 这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。 二项式定理的发现 通过进一步研究， 1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式: 1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。 上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢? 1665年，牛顿对此进行了研究。 他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式： 为了便于比较，我们把二项式定理改写为： 二项式定理的推广 经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。 这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。 这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即： 二项式定理的推广1 这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时，有： 验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。 二项式定理的推广 然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？ 牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。 1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。 一、Fibonacci数列的进一步探讨 那么 借助等比数列工具 是一个什么样的等比数列? 是一个什么样的等比数列? 二、Fibonacci数列与Pascal三角形 三、生物学中的德鲁维格定律 四、极限观点下的Fibonacci数列 两边取极限得 五、Fibonacci数列有趣应用 六、Fibonacci数列有趣应用 七、尺规作图无法三等分一条线段