3.2.2模不两两互质的一次同余式组.pptVIP

解下列同余方程组： 第四章 同余方程 教材中定理 4. 6, 4. 7 分开论述较细, 运用时步骤多了一点, 为了简捷, 我们介绍下述定理 定理 如果 有解的情况下，它的解与同余式组 的解相同． 及同余性质 6 这样, 就直接将模不两两互质的同余方程组的求解转化为运用孙子定理求解问题( ). 注意定理的几个条件, 具体做法是: m = [m1 , m2 , …, mn] = 取 单独或组合构成一组两两互素的模, 得到个数不多于原来个数的同余方程组解之. 在原方程组有解时, 这种解法总是可以实现的. 因此在转换之前务必检验同余方程组是否有解. 例 6 解下列同余方程组： （1） x≡－2（mod 12）， x≡6（mod 10）， x≡1（mod 15）； 且 根据定理 3. 22 ，可知原同余式组的解就是下面同余式组的解： 这里(36, 25)=1, 可以应用孙子定理求解: 例 解下列同余方程组： （1） x≡1 （mod 28）， x≡8 （mod 35）， x≡13（mod 32）； 解 x≡1 （mod 25）， （1） x≡8 （mod 5），与原方程组同解? x≡13（mod 7）. x≡1（mod 7）， x≡8（mod 5），与原方程组同解? x≡13（mod 25）. 定理 4. 6 设 是模m的素因子标准分解式,则同余方程 与下述同余方程组同解: 证: 若 c 是同余方程 (6) 的解, 由同余性质 6,  c 是(7)中每个同余方程的解,也就是(7)的解; 反过来, 若c是同余方程组(7)的解, 定理 4. 7 若 , 且同余方程组 有解, 则同余方程组(8)与第一个同余方程 例 6 解下列同余方程组： （1） x≡－2（mod 12）， x≡6（mod 10）， x≡1（mod 15）； 依定理 4.7， 由 x≡－2（mod 22）， x≡6（mod 2），得 x≡－2（mod 22）. 由 x≡－2（mod 3）， x≡1（mod 3），得 x≡1（mod 3）. 由 x≡6（mod 5）， x≡1（mod 5），得 x≡1（mod 5）. 例 6 解下列同余方程组： 特殊解法: 作业 孙子定理 (英文) * * * （1） x≡－2（mod 12）， x≡6（mod 10）， x≡1（mod 15）. 模不两两互质的一次同余式组 (★) ( ▲ ) ★ ★ 4. 4 我们可以用定理4. 6, 4. 7 来证, 但以下证明更简捷. ★ ★ ▲ 4. 4 解 （1）由定理 ，原方程组可化为 x≡－2（mod 22）， x≡6（mod 5）， x≡1（mod 3）. 或 x≡－2（mod 22）， x≡6（mod 1）， x≡1（mod 15）. 可解得x≡46 ( mod60 ). x≡－2（mod 22）， x≡1（mod 15）. 由于一个同余式中的模为 1，因此 x 可取任意整数， 4. 4 例 3.41 (2) 　　 　　由于前两个同余式中的模为 1 ，因此 x 可取任意整数，所以这个同余式组的解就是下面同余式组的解． 因此所求的解为 务必注意与原方程组同解 (7) (P149) 因m = 因此, c 也是同余方程 (6)的解. 定理证得. 同余方程组(7)的解唯一, 同解. (P150) ∵ 方程组有解, ∴ 证毕. 只要证明a1满足第二个方程 有解是这个定理的重要条件 (2) x≡3（mod 15）， x≡8（mod 20）， x≡24（mod 36）， x ≡38（mod 50）. 解 （1）由定理 4. 6，原方程组可化为 x≡－2（mod 22）， x≡－2（mod 3），