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第一章 数值计算引论 1.下列近似值的误差限都是0.005，则有 3 位有效数字，有 1 位有效数字. 2．已知近似值有两位有效数字，则其相对误差限为． 3. 作为圆周率的近似值，则误差的绝对值，有效数字有 3 位． 作为圆周率的近似值，则误差的绝对值，有效数字有 7 位． 4. 为避免两个相近的数相减造成有效数字的严重损失，往往要变换计算公式。下列运算应如何改变？ ① ，改变公式为：或者； ②，改变公式为：； ③，改变公式为：； ④，改变公式为：； (5) 当正数充分大时，应将改写为 。 5.考虑算法的数值稳定性，减小四则运算误差要考虑以下一些原则： ① 由于计算机的字长有限，进行加减法运算时，要防止 大数吃掉小数 ； ② 减法运算时，要注意 两个相近数相减，会造成有效数字的严重损失. ； ③ 除法运算时，要注意 避免绝对值很小的数做除数. ； 第二章 非线性方程的数值解法 一、填空题 计算的牛顿程序为_________________________，收敛阶为______；若已知的一个近似值是，则用此牛顿法计算_______________（保留六位有效数字）。 (2) 设，且迭代过程至少平方收敛到，试确定的值。 3、计算的牛顿迭代公式为___________________（不包含除法运算）；其收敛阶为________。 5、求方程根的牛顿迭代格式是 。 6、求方程的根的弦截法的迭代格式是 。 7、若要求解的重根，用修正的牛顿方法求解的迭代格式是 二、计算题 1、判断是否为方程的重根？若是，用牛顿迭代法的修正法求误差不超过的近似根。 2、利用牛顿切线法导出计算的公式，并求，要求精度为。 3、利用牛顿切线法导出计算的公式，并求，要求精度为。 第三章 线性代数方程组的数值解法 一、填空题 1. 顺序Gauss消去法能够实现的条件是 ，为避免小主元作除数，产生了 消去法。 2．若方程组Ax=b的系数矩阵A满足 ，则A的LU分解存在且唯一。 在A的三角分解A=LU中，若L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，称为 ； 3. 设向量，则＝ ，＝ ，＝ ； 4．设矩阵，则 ； ； ； ； ； ； ； 5．解方程组的迭代格式收敛的充要条件是 ； 若，则J-法的迭代矩阵是 ，该法收敛的充要条件是a满足 ； 若使用G-S迭代法，其迭代矩阵是 ，该法收敛的充要条件是a满足 ； 6、用高斯塞德尔迭代法解 的迭代公式为 。 二、计算题 1. 分别用Gauss列主元消去法和LU三角分解法解方程组，并求系数矩阵的行列式。 2. 已知方程组，，分别写出J-法和G-S法的迭代矩阵并判断两种迭代法的收敛性. 3、用列主元高斯约当法求的逆矩阵。 4、用列主元高斯约当法解方程组， 第四章 插值法 一、填空题 1. 设函数在4个互异节点的函数值分别是，根据多项式插值的唯一性，必存在唯一的次数 的插值多项式，满足插值条件 。利用Lagrange插值，需要作 个、次数均为 次的多项式插值基函数，其一般式为 ，于是插值函数 ； 2．阶差商与阶导数的关系是 ；设，则 ；若，则 ； ； 3、 二、计算题 0.46 0.47 0.48 0.49 0.484655 0.493745 0.502750 0.511668 1.给出概率积分 的数据表，试分别用二次Lagrange插值和Newton插值计算的近似值. 2、 求一个次数不超过2次的多项式P(x),使它满足P (0)=1, P (1)=2, P (2)=9, 。 3、已知，用抛物线