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两道考研试题的探讨
第27卷第6期 大 学 数 学 Vo1．27，№ ．6 2011年 l2月 COLLEGE MATHEM ATICS Dec．2O11 两道考研试题的探讨 宁荣健， 苏灿荣， 殷 明 (合肥工业大学 数学学院 合肥 230009) [摘 要]主要讨论了函数 ，(z)一 ln(1+z+z+…+z)(--1≤z≤ 1，m为正整数)关于z的幂级 数展开式在点 z— l处的敛散性． [关键词]幂级数展开式；收敛 ；考研；欧拉常数 [中图分类号]0173．1 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2011)06—0150—03 ∑ 文E1]，[2]中介绍了如下两道考研试题 ： 试题一 把函数 ，(z)一in(1+z+X。+z。)展开成X的幂级数 ，并求其收敛域．(华南工学院1981 + 年硕士研究生入学试题) ∑ ∑ 试题二 把函数 ．厂(z)一in(1+ +X+z。+z)展开成z的幂级数 ，并指出收敛区域．(上海交通 雄 大学 1979年硕士研究生入学试题) + 对于试题一，文[1]，[2]分别给出了下列解答． 解法 1[ 当一1 z 1时 ，恒有 ∑ n 1+ z+z + z3= ， 于是由对数性质及展开公式 ，有 厂()一 In(1+z+X +z。)= In — = ln(1一 ,23)一 ln(1一 z)一一 由于 ln(1一 )的展开区间为 [一1，1)，ln(1一z)‘的展开区间为 (一1，1)，故 ln(1+z+z+ 。)的展 开区间为 (一1，1)，即有 厂()一 ln(1+ + +z。)一一 一1 z 1． 解法 2[] ，(z)一In(1+ +．22。+z3)= ln[(1+z)(1+ 。)]一In(1+ )+In(1+ )，而 一 1 z≤ 1， 一 1≤ z≤ 1， 所 以 厂(z)一ln(+z+z+ 一妻(-- 1)~-1T／ + n= l (一)等 n= l + 一 1+ 一 妻
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