02.(32)复变函数与解析函数.pptVIP

Example1. 柯西关于函数,极限,连续和导数的定义基本上是正确的,但所用的语言模糊不确切。函数定义的描述不断在改进。 高斯的看法:在1811年11月21日写给贝塞尔的一封信中他说:我们不该忘记复变函数与其他所有的数学构造一样,只是我们自己的创造物,因此当我们由之开始的定义不再有意义的时候,我们就不应当再问它是什么,而应该问,如何做出合适的假设,使它继续有意义。 复变函数的定义 柯西还以正确的方法建立了极限和连续性的理论.也很明智地把微积分建立在极限的概念上.这一正确的方法也被数学界思维敏锐者所推崇.18世纪的达兰贝尔就确信极限概念是合适的基础. 因为在他发表文章时有牛顿,莱布尼茨,欧拉的工作可以借鉴.他为百科全书 (1751-1765)所撰写的条目“极限”中明确认为: 当一个量以小于任何给定的量逼近另一个量时,可以说后者是前者的极限,尽管前者绝不会超过后者…….极限理论是微积分真正形而上学的基础……. 瑞士数学家惠利尔(Simon L’Huillier)于1786年在他的论文高等微积分的基本评注开头的一章中,他一定程度上改进了极限的理论.他第一次在印刷品上引入Lim作为极限的符号.但他对极限理论的贡献是微乎其微的. 极限的定义 Example1 试证明 当 时极限不存在. Example2 试证明 当 时极限为零. 证法1 由定义:对于 证法2 让 则 Cauchy认为连续即隐含着可微. Karl Weierstrass在1861年就弄清楚了连续并不隐含可微。1872年他向柏林科学院提出了一个处处连续却无处可导的函数的例子。 但所幸的是 Weierstrass的例子没有早出现,这是微积分发展史上的幸事,正如 Emile Picard 在1905年所说:如果牛顿,莱布尼茨知道了连续函数不一定可导,微积分将无产生.严谨的思想也可阻碍创造。 连续的性质 若函数在区域内处处可导,就称该函数在区域内可导,又若其导函数连续则称该函数是连续可导,若其导函数可导则称该函数二阶可导,若函数的各阶导函数都存在则称该函数无穷次可导或可微. Example1.求函数 的导函数. Example2. 是否可导? 该函数在复平面内是处处连续但处处不可导.导数的性质 牛顿的看法:在他的一些经典的推导中,他既用无穷小量作分母进行除法,这意味着无穷小量不是零;然而他又把被无穷小量所乘的项当做没有而去掉,这说明他又认为无穷小量是零.奇怪的是,这样所推导的公式在力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的.他本人也意识到了这种逻辑上的混乱,但无法摆脱. 莱布尼茨的看法:莱布尼茨也无法解释为什么两个无穷小量之比可能是一个有限数.因此他对无穷小量产生了疑问: “无穷小量是否真的存在?它们有没有严格的依据?” 英国主教贝克莱曾嘲笑无穷小量是“逝去的量的灵魂”. 德国数学家魏尔斯特拉斯总结了前人的工作,于1855年给出了极限的严格定义,即今天的 和 说法,他与德国数学家戴德金,康托一起创立了实数理论. 至此,人们才知道无穷小量只不过是在某个变化过程中以零为极限的变量. 导数 证法1:由导数的定义 可导与连续的关系 连续不一定意味着可导,而可导必然连续. 求导法则: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 可导与可微的关系 * NUDT * 第一章 复数与复变函数 §1 复数及其代数运算 §2 复数的几何意义 §3 复数的乘幂与方根 §4 区域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限与连续性 上次课主要内容回顾 在复平面上 复数 点 向量 复数的三种表示形式: 直角表示形式 三角表示形式 指数表示形式 Note.要求掌握复数的三种表示形式之间的自由转换。 Exercise. §4 区域 区域的概念 边界点 连通性 邻域 区域 的邻域 的去心邻域 内点 外点 §4 区域 区域的第一种分类: 有界区域和无界区域 E