北京邮电大学 北邮 随机过程 课件 02_泊松过程.pptVIP

三、泊松过程的数字特征 四、泊松过程的应用和例子 泊松过程多见于“流”，如：人流，车流，电子流 售票窗口前购买票的客人所形成的客流 电子管内电子流动的电子流 交换机收到的呼叫次数 排队论研究顾客到达一般采用泊松过程建模 五、泊松分布的时间间隔的分布特性 泊松分布的等待时间的分布特性 设 {X (t), t ? 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A发生的次数， W1 ,W2,…分别表示第一次，第二次，… 事件A发生的时刻, Tn (n≥1)表示从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。 1.泊松过程时间间隔的分布特性 ① 事件{T1t}发生意味着泊松过程在[0,t]内没有事件发生 六、到达时间的条件分布 1.若[0,t]内事件A已发生一次，求Wn 2.推导为一般情况 若已知在[0, t]内事件A发生n次，且W1 W2 … Wn，这n次与 相应于n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同 的分布。 例3.5 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k n) 事件 A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 爱尔兰分别的积分就是郎木达分布 条件概率、平稳性、独立性 推导用到条件概率、独立性，推导出来发现是二项分布。 （二）泊松过程 一、计数过程 对随机过程{N(t), t≥0}，若N(t)表示到时刻t为止已发生“事件A”的总数，且N(t)满足：(1) N(t) ≥0；(2) N(t)为正整数；(3)若St，则N(s) ≤N(t)；(4)当St时，N(t)-N(s)为时间段(s，t]内发生的“事件A”的次数。以上为计数过程的定义，注意：时间连续而状态离散 独立性条件若N(t)在不相重叠的时间间隔内发生事件的次数相互独立，则N(t)为独立增量过程。 平稳性条件若N(t)在(t,s+t](s0)内发生事件的次数仅与时间差s有关，而与起点t无关，则N(t)为平稳增量过程。 二、泊松过程的定义 定义3.2 称计数过程{ X (t) , t ≥ 0 }为具有参数 ? 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程;(3)在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次数服从参数? 0的泊松分布，即 注: (1) 泊松分布 E[X(t)]= ? t ? = E[X(t)]/t，单位时间内发生的平均次数 ； (2)实践中，要验证某过程服从泊松过程较难。 定义3.3 称计数过程{ X (t) , t ≥ 0 }为具有参数 ? 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程;(3) X (t) 满足下列两式： 代替了平稳性 高阶无穷小 定义 证明：定义3.2 与定义3.3等价 证：“等价”含义意味着可相互推导，相互印证，下面从两个方面分别推导证明(1)定义3.2可推导得定义3.3在定义3.2中，并未确定起始时刻t与时间差s的唯一性，即保证了其平稳性。又由定义3.2条件(3)可知 定义3.2可推导得定义3.3 (2)定义3.3可推导得定义3.2 下面由定义3.2条件(3)推导出 再用归纳法推导出  事件的或运算 不相重叠的时间间隔 T1 T2 T3 Tn 0 W1 W2 W3 Wn-1 Wn t … Wn为第n次事件A出现的时刻，即第n次事件A的等待时间； Tn为第n个时间间隔。 Tn是独立同分布的均值为1/λ的指数分布 Wn服从参数n与λ的? 分布，其概率密度服从爱尔兰分布 ② 事件{T2t |T1≤s}发生意味着 [0,s]发生一次，[s,s+t]内没有事件发生 对任意n≥1和t,s1, s2,…, sn ≥0,有 2.泊松过程等待时间的分布特征 由泊松分布过程的平稳性，独立性可知，Wn为n个独立的指数 分布的随机变量之和 解：∵泊松过程具有独立性，平稳性 ∴事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布，令st,有： 3.举例 例3.4：设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0st,对于0k n,求 参数为 n 和 s/t 的二项分布 Beta分布 例3.6 设{X1(t), t ? 0 }和{X2(t), t ? 0 }是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 ?1和?2。记Wk（1）为过程X1(t)的第k次事件到达时间， W1（2）为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 P{ Wk（1） W1（2）}，即X1(t)发生第k次事件比X2(