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能量原理及变分法 变分法 弹性体的形变势能 虚位移原理 最小势能原理 位移变分法━李兹（Rize）方法 位移变分法的例题 弹性体的形变势能 设弹性体在受力和变形的过程中，外力功不转化为热能和动能，而全部转化为弹性体的形变势能（即应变能）；并设材料是线弹性体。 整个弹性体的形变势能U为形变势能密度U1在整个弹性体内的积分。 将式（e）分别对?x, ?y ,?xy求导，并和式（d）比较，得 对于平面应变问题，只须将E换为 ， 虚位移原理 最小势能原理 位移变分法━李兹（Rize）方法 李兹（Rize）法的基本思路： 在位移变分法中，设位移u(x,y)和v(x,y)为某种形式的级数，而在选择级数形式的时侯，使它预先满足位移边界条件，只在级数中包含若干待定系数，然后用变分方程决定这些系数，位移的近似解就得到了。 u1(x,y), u2(x,y) ，… （共m个） v1(x,y), v2(x,y) ，… （共m个） 把式（b）和式（c）代入变分方程式（4），得 * 变分法 变分法 主要是研究泛函及其极值的求解方法。 泛函 指以函数为自变量的一类函数，即函数的函数。 弹性力学变分法 弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量。如形变势能、外力势能等。 能量法 弹性力学中的变分法称为能量法。 依据能量守恒原理，形变势能的值和受力的次序无关，只决定于应力和应变的最终值。 切应力?xy和切应变?xy的形变势能密度为 由材料力学知：正应力?x和正应变?x在单位体积中形成的形变势能（称为形变势能密度）为 σx εx σx dεx dεx σ ε O 若六个应力分量和应变分量都不为零，则形变势能密度（比能）为 在平面问题中,?yz=0, ?zx＝0。上式中第五、六两项为零。 在平面应力问题中，?z＝0 在平面应变问题中，?z＝0。 因此，在两种平面问题中，弹性体的形变势能密度为 在一般的平面问题中，弹性体各部分的受力并非均匀，各应力分量是坐标x和y的函数。因此，U1一般也是坐标x和y的函数。 对于平面问题，可认为在z方向取一个单位长度，即可得 形变势能可用形变分量来表示。 对于平面应力问题，由物理方程 代入式（b），得 上式表明：弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的变化率，就等于相应的应力分量。 形变势能还可用位移分量来表示。 由几何方程得 ? 换为 。 y x fy fx Su o S? 弹性体的虚位移原理可简述为：一个处于平衡状态的弹性体，当产生几何约束所容许的虚位移时，外力虚功等于虚应变能。 设有如图所示的弹性体，在平面区域A处受体力分量fx和fy的作用。 在一部分边界Sσ上有面力（分量为 ）； 在另一部分边界Su 上受约束（Su上的位移 为已知）。 弹性体处于平衡状态。 若弹性体产生了约束所允许的虚位移?u和?v，那么虚形变势能是多少？外力虚功是多少？它们之间有什么关系？ 则外力（体力和面力）在实际位移上所做的外力功为 弹性体的外力势能为 式（a）是虚形变势能，它和实形变势能不同，没有1／2这个系数。这是因为前者在变形过程中应力不变，而后者的应力是随应变线性变化的缘故。 由于在发生虚位移的过程中应力是常数，所以虚形变势能是 其中虚形变分量??x, ??y和??xy是和虚位移相对应的变分，它们是 上式称为虚功方程。 它表明：如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在虚应变上所做的虚功。 利用式（a）和式（c），可以把虚位移原理写成 式中第一项积分是弹性体内的体力虚功；第二项积分是应力边界上的面力虚功。 外力（体力和面力）在发生虚位移的过程中应力也不变，所以外力的虚功是 将上式代入式（a），得 若把U1看作是形变分量?x,?y和?xy的函数，那么U1的变分就是 将式（1）代入虚形变势能表达式中，得 现从虚位移原理出发推导出最小势能原理。 用V代表外力势能，并以u=v=0的自然状态下势能为零。从功能转换的关系来看，外力的势能等于外力功的负值即 或 故有 于是 其中基本未知量是u和v。因在小位移发生过程中，外力的方向和大小都可以认为是不变的。 于是虚功方程（式（3））可写成 这两种方程都包含了位移的变分，故统称为位移变分方程。 虚功方程和最小势能条件是等价的。 方程（4）和（5）一样，都是势能最小的必要条件。 如果考虑二阶变分，可以证明：在稳定平衡中，这个极值是极小值。这就是最小势能原理。 上式表明：只有使系统总势能为极值的那一组位移，才是实际发生的位移。 式（5）是系统总势能取极值的必要条件。 其中 是系统总势能。 从而得到 式中，A